TY - THES A1 - Schu, Matthias T1 - Adaptive Trust-Region POD Methods and their Application in Finance T1 - Adaptive Trust-Region POD Methods and their Application in Finance N2 - Bei der Preisberechnung von Finanzderivaten bieten sogenannte Jump-diffusion-Modelle mit lokaler Volatilität viele Vorteile. Aus mathematischer Sicht jedoch sind sie sehr aufwendig, da die zugehörigen Modellpreise mittels einer partiellen Integro-Differentialgleichung (PIDG) berechnet werden. Wir beschäftigen uns mit der Kalibrierung der Parameter eines solchen Modells. In einem kleinste-Quadrate-Ansatz werden hierzu Marktpreise von europäischen Standardoptionen mit den Modellpreisen verglichen, was zu einem Problem optimaler Steuerung führt. Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung der PIDG aus theoretischer und vor allem aus numerischer Sicht. Die durch ein implizites Zeitdiskretisierungsverfahren entstandenen, dicht besetzten Gleichungssysteme werden mit einem präkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, was zu beinahe linearem Aufwand bezüglich Orts- und Zeitdiskretisierung führt. Trotz dieser effizienten Lösungsmethode sind Funktionsauswertungen der kleinste-Quadrate-Zielfunktion immer noch teuer, so dass im Hauptteil der Arbeit Modelle reduzierter Ordnung basierend auf Proper Orthogonal Decomposition Anwendung finden. Lokale a priori Fehlerabschätzungen für die reduzierte Differentialgleichung sowie für die reduzierte Zielfunktion, kombiniert mit einem Trust-Region-Ansatz zur Globalisierung liefern einen effizienten Algorithmus, der die Rechenzeit deutlich verkürzt. Das Hauptresultat der Arbeit ist ein Konvergenzbeweis für diesen Algorithmus für eine weite Klasse von Optimierungsproblemen, in die auch das betrachtete Kalibrierungsproblem fällt. N2 - So-called jump-diffusion models with local volatility provide many advantages concerning the pricing of financial derivatives. However, from a mathematical point of view they are quite complex since the corresponding model prices have to be calculated via a partial integro-differential equation (PIDE). Here, we are dealing with the calibration of the parameters of such a model. We compare market prices of standard European options with the model prices in a least-squares approach yielding an optimal control problem. A substantial part of this thesis is the solution of the PIDE where the focus is on the numerical part. The dense linear systems of equations arising from an implicit time discretization scheme are solved with a preconditioned GMRES method leading to an almost linear complexity regarding time and space discretization. Despite this efficient solution, evaluations of the least-squares objective function are still expensive such that in the main part of this thesis reduced order models based on proper orthogonal decomposition (POD) are used. Local a priori error estimates for the reduced differential equations as well as for the corresponding reduced objective function combined with a globalizing trust-region framework yield an efficient algorithm that clearly reduces the computing time. The main result of this thesis is a convergence proof for this algorithm for a wide class of optimization problems to which the considered calibration problems belong to as well. KW - Trust-Region-Algorithmus KW - POD-Methode KW - Fehlerabschätzung KW - Trust Region KW - Proper Orthogonal Decomposition KW - Error Estimates KW - Adjoint Y1 - 2012 UR - https://ubt.opus.hbz-nrw.de/frontdoor/index/index/docId/574 UR - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:385-7999 ER -