Proximität von Binomial- und Poisson-Verteilungen und Konfidenzintervalle für durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeiten

Proximity of binomial and Poisson distributions and confidence intervals for averages of success probabilities

  • Die vorliegende Arbeit teilt sich in die zwei titelgebenden Themengebiete. Inhalt des ersten Teils dieser Arbeit ist die Untersuchung der Proximität, also einer gewissen Messung der Nähe, von Binomial- und Poisson-Verteilungen. Speziell wird die uniforme Struktur des Totalvariationsabstandes auf der abgeschlossenen Menge aller Binomial- und Poisson-Verteilungen charakterisiert, und zwar mit Hilfe der die Verteilungen eindeutig bestimmenden zugehörigen Erwartungswerte und Varianzen. Insbesondere wird eine obere Abschätzung des Totalvariationsabstandes auf der Menge der Binomial- und Poisson-Verteilungen durch eine entsprechende Funktion der zugehörigen Erwartungswerte und Varianzen angegeben. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich Konfidenzintervallen für Durchschnitte von Erfolgswahrscheinlichkeiten. Eine der ersten und bekanntesten Arbeiten zu Konfidenzintervallen von Erfolgswahrscheinlichkeiten ist die von Clopper und Pearson (1934). Im Binomialmodell werden hier bei bekanntem Stichprobenumfang und Konfidenzniveau Konfidenzintervalle für die unbekannte Erfolgswahrscheinlichkeit entwickelt. Betrachtet man bei festem Stichprobenumfang statt einer Binomialverteilung, also dem Bildmaß einer homogenen Bernoulli-Kette unter der Summationsabbildung, das entsprechende Bildmaß einer inhomogenen Bernoulli-Kette, so erhält man eine Bernoulli-Faltung mit den entsprechenden Erfolgswahrscheinlichkeiten. Für das Schätzen der durchschnittlichen Erfolgswahrscheinlichkeit im größeren Bernoulli-Faltungs-Modell sind z. B. die einseitigen Clopper-Pearson-Intervalle im Allgemeinen nicht gültig. Es werden hier optimale einseitige und gültige zweiseitige Konfidenzintervalle für die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit im Bernoulli-Faltungs-Modell entwickelt. Die einseitigen Clopper-Pearson-Intervalle sind im Allgemeinen auch nicht gültig für das Schätzen der Erfolgswahrscheinlichkeit im hypergeometrischen Modell, das ein Teilmodell des Bernoulli-Faltungs-Modells ist. Für das hypergeometrische Modell mit festem Stichprobenumfang und bekannter Urnengröße sind die optimalen einseitigen Konfidenzintervalle bekannt. Bei festem Stichprobenumfang und unbekannter Urnengröße werden aus den im Bernoulli-Faltungs-Modell optimalen Konfidenzintervallen optimale Konfidenzintervalle für das hypergeometrische Modell entwickelt. Außerdem wird der Fall betrachtet, dass eine obere Schranke für die unbekannte Urnengröße gegeben ist.
  • This paper adresses the two topics specified in the title. The first part of this paper focuses on proximity, a certain kind of measure of closeness, of binomial and Poisson distributions. In particular the unifom structure of the total variation distance on the closed set of all binomial and Poisson distributions is characterised, This will be done using the corresponding means and variances, which identify the distributions uniquely. In particular an upper bound for the total variation distance on the set of binomial and Poisson distributions is given by an appropriate function of the corresponding means and variances of the distributions. The second part of the paper deals with confidence intervals for averages of success probabilities. One of the first and most famous papers on confidence intervals of success probabilities has been published by Clopper and Pearson (1934). In their paper they developed confidence intervals for the unknown success probability for a given sample size and confidence level. If instead of a binomial distribution, which is the image measure of a homogeneous bernoulli chain under the summation, the corresponding image measure of an inhomogeneous bernoulli chain is considered, this distribution is a Bernoulli convolution with corresponding success probabilities. The one-sided Clopper-Pearson intervals are for example in general not valid for estimating the average success probability in the major Bernoulli convolution model. We develop optimal one-sided and valid two-sided confidence intervals for the average of success probabilities in the Bernoulli convolution model. The one-sided Clopper-Pearson intervals are in general also not valid for estimating the success probability in the hypergeometric model, which is a submodel of the Bernoulli convolution model. The optimal one-sided confidence intervals for the hypergeometric model with fixed sample size are well-known. For given sample size and unknown urn size we develop optimal one-sided confidence intervals for the hypergeometric model making use of the confidence intervals optimal in the Bernoulli convolution model. Furthermore we consider the case of an given upper limit for the unknown urn size.

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Metadaten
Author:Christoph Tasto
URN:urn:nbn:de:hbz:385-9398
Advisor:Lutz Mattner
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2015/07/29
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2015/04/29
Release Date:2015/07/29
Tag:Binomial; Konfidenzintervalle; Poisson; Robustheit; Verteilungsapproximation
Poisson; approximation; binomial; confidence intervals; robustness
GND Keyword:Zwillingsformel ; Approximation ; Konfidenzintervall ; Robustheit
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $