Efficient PDE Constrained Shape Optimization in Shape Spaces

Effiziente PDE beschränke Formoptimierung in Formenräumen

  • Shape optimization is of interest in many fields of application. In particular, shape optimization problems arise frequently in technological processes which are modelled by partial differential equations (PDEs). In a lot of practical circumstances, the shape under investigation is parametrized by a finite number of parameters, which, on the one hand, allows the application of standard optimization approaches, but, on the other hand, unnecessarily limits the space of reachable shapes. Shape calculus presents a way to circumvent this dilemma. However, so far shape optimization based on shape calculus is mainly performed using gradient descent methods. One reason for this is the lack of symmetry of second order shape derivatives or shape Hessians. A major difference between shape optimization and the standard PDE constrained optimization framework is the lack of a linear space structure on shape spaces. If one cannot use a linear space structure, then the next best structure is a Riemannian manifold structure, in which one works with Riemannian shape Hessians. They possess the often sought property of symmetry, characterize well-posedness of optimization problems and define sufficient optimality conditions. In general, shape Hessians are used to accelerate gradient-based shape optimization methods. This thesis deals with shape optimization problems constrained by PDEs and embeds these problems in the framework of optimization on Riemannian manifolds to provide efficient techniques for PDE constrained shape optimization problems on shape spaces. A Lagrange-Newton and a quasi-Newton technique in shape spaces for PDE constrained shape optimization problems are formulated. These techniques are based on the Hadamard-form of shape derivatives, i.e., on the form of integrals over the surface of the shape under investigation. It is often a very tedious, not to say painful, process to derive such surface expressions. Along the way, volume formulations in the form of integrals over the entire domain appear as an intermediate step. This thesis couples volume integral formulations of shape derivatives with optimization strategies on shape spaces in order to establish efficient shape algorithms reducing analytical effort and programming work. In this context, a novel shape space is proposed.
  • Formoptimierung ist in vielen Anwendungsbereichen von großem Interesse. Insbesondere entstehen Formoptimierungsprobleme in technologischen Prozessen, die mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert werden. In vielen praktischen Anwendungen ist die zu untersuchende Form durch endlich viele Parameter charakterisiert. Einerseits ermöglicht dies die Anwendung von Standardoptimierungsansätzen, andererseits wird der Raum der erreichbaren Formen unnötig begrenzt. Einen Weg dieses Dilemma zu umgehen liefert das Formenkalkül. Bisher wurden die auf dem Formenkalkül basierenden Formoptimierungprobleme jedoch hauptsächlich mit Gradientenabstiegsverfahren gelöst. Die im Allgemeinen vorhandene Unsymmetrie der zweiten Formableitung beziehungsweise der Form-Hesse-Matrix ist ein Grund hierfür. Generell sind Formenräume keine linearen Räume, wodurch eine große Lücke zwischen Formoptimierung und der herkömmlichen PDE-beschränkten Optimierung entsteht. Diese Lücke gilt es zu schließen. Falls kein linearer Raum in Frage kommt beziehungsweise vorhanden ist, dann fällt die nächst beste Wahl auf eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Möchte man auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten optimieren, so muss man mit dem Riemannschen Form-Gradienten beziehungsweise der Form-Hesse-Matrix arbeiten. Die Riemannsche Form-Hesse-Matrix besitzt im Gegensatz zu der herkömmlichen Form-Hesse-Matrix die häufig gewünschte Eigenschaft der Symmetrie. Solch eine Hesse-Matrix gibt Auskunft über die Wohlgestelltheit eines Optimierungsproblems und definiert die hinreichenden Optimalitätsbedingungen. Im Allgemeinen wird sie verwendet, um gradientenbasierte Formoptimierungsverfahren zu beschleunigen. Diese Arbeit befasst sich mit PDE-beschränkten Formoptimierungsproblemen, welche als Optimierungsprobleme auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten betrachtet werden, um effiziente Methoden auf Formenräumen für diese bereitzustellen. Es werden Lagrange-Newton, sowie quasi-Newton Ansätze für PDE-beschränkte Probleme in dieser Arbeit formuliert. In diesen Methoden wird die Hadamard-Form der Formableitung verwendet. Diese Hadamard-Form ist ein Oberflächenintegral und oftmals sehr aufwendig und zeitintensiv herzuleiten. Als Zwischenergebnis dieser Herleitung erhält man ein Volumenintegral, welches aus mehreren Gesichtspunkten viel attraktiver ist als ein Oberflächenintegral. Daher beschäftigt sich diese Arbeit zusätzlich mit der Frage, wie man dieses Volumenintegral in den in dieser Arbeit entwickelten Formoptimierungsmethoden verwenden kann, um Effizienz durch Reduzierung analytischer Arbeit und des Programmieraufwandes zu erreichen. In diesem Zusammenhang wird ein neuer Formenraum definiert.

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Metadaten
Author:Kathrin Welker
URN:urn:nbn:de:hbz:385-10247
Advisor: Prof. Dr. Volker H. Schulz
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2017/01/16
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2016/09/15
Release Date:2017/01/16
Tag:Formenräume; Formoptimierung; PDE Beschränkungen
PDE Constraints; Shape Optimization; Shape Spaces
GND Keyword:Optimierung; Partielle Differentialgleichung
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS / 35Qxx Equations of mathematical physics and other areas of application [See also 35J05, 35J10, 35K05, 35L05] / 35Q93 PDEs in connection with control and optimization
49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Mxx Numerical methods [See also 90Cxx, 65Kxx] / 49M15 Newton-type methods
49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Qxx Manifolds [See also 58Exx] / 49Q10 Optimization of shapes other than minimal surfaces [See also 90C90]
57-XX MANIFOLDS AND CELL COMPLEXES (For complex manifolds, see 32Qxx) / 57Nxx Topological manifolds / 57N25 Shapes [See also 54C56, 55P55, 55Q07]
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Kxx Mathematical programming, optimization and variational techniques / 65K10 Optimization and variational techniques [See also 49Mxx, 93B40]

$Rev: 13581 $