Extension Operators with Optimal Continuity Estimates

Extensionsoperatoren mit Optimalen Stetigkeitsabschätzungen

  • Given a compact set K in R^d, the theory of extension operators examines the question, under which conditions on K, the linear and continuous restriction operators r_n:E^n(R^d)→E^n(K),f↦(∂^α f|_K)_{|α|≤n}, n in N_0 and r:E(R^d)→E(K),f↦(∂^α f|_K)_{α in N_0^d}, have a linear and continuous right inverse. This inverse is called extension operator and this problem is known as Whitney's extension problem, named after Hassler Whitney. In this context, E^n(K) respectively E(K) denote spaces of Whitney jets of order n respectively of infinite order. With E^n(R^d) and E(R^d), we denote the spaces of n-times respectively infinitely often continuously partially differentiable functions on R^d. Whitney already solved the question for finite order completely. He showed that it is always possible to construct a linear and continuous right inverse E_n for r_n. This work is concerned with the question of how the existence of a linear and continuous right inverse of r, fulfilling certain continuity estimates, can be characterized by properties of K. On E(K), we introduce a full real scale of generalized Whitney seminorms (|·|_{s,K})_{s≥0}, where |·|_{s,K} coincides with the classical Whitney seminorms for s in N_0. We equip also E(R^d) with a family (|·|_{s,L})_{s≥0} of those seminorms, where L shall be a a compact set with K in L-°. This family of seminorms on E(R^d) suffices to characterize the continuity properties of an extension operator E, since we can without loss of generality assume that E(E(K)) in D^s(L). In Chapter 2, we introduce basic concepts and summarize the classical results of Whitney and Stein. In Chapter 3, we modify the classical construction of Whitney's operators E_n and show that |E_n(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for s in[n,n+1). In Chapter 4, we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that LMI(1) for K implies the existence of an extension operator E without loss of derivatives, i.e. we have it fulfils |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for all s≥0. We show that a large class of self similar sets, which includes the Cantor set and the Sierpinski triangle, admits an extensions operator without loss of derivatives. In Chapter 5 we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that WLMI(r) for r≥1 implies the existence of a tame linear extension operator E having a homogeneous loss of derivatives, such that |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{(r+ε)s,K} for all s≥0 and all ε>0. In the last chapter we characterize the existence of an extension operator having an arbitrary loss of derivatives by the existence of measures on K.
  • Gegeben sei eine kompakte Menge K in R^d. Die Theorie der Extensionsoperatoren beschäftigt sich mit der Frage, welche Eigenschaften K haben muss, damit die linearen und stetigen Einschränkungen r_n:E^n(R^d)→E^n(K),f↦(∂^α f|_K)_{|α|≤n}, n in N_0 und r:E(R^d)→E(K),f↦(∂^α f|_K)_{α in N_0^d}, eine lineare und stetige Rechtsinverse besitzen. Die Inverse wird als Extensionsoperator bezeichnet und dieses Problem ist bekannt als Whitneys Extensionsproblem, benannt nach Hassler Whitney. In diesem Zusammenhang bezeichnen E^n(K) beziehungsweise E(K) die Räume der Whitney-Funktionen auf K der Ordnung n beziehungsweise unendlicher Ordnung. Mit E^n(R^d) beziehungsweise E(R^d) bezeichnen wir die Räume n-mal beziehungsweise unendlich oft stetig partiell differenzierbarer Funktionen auf R^d. Whitney löste dieses Problem für r_n bereits vollständig. Er konnte zeigen, dass es immer, unabhängig von den Eigenschaften von K, möglich ist eine lineare und stetige Rechtsinverse E_n von r_n zu konstruieren. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie die Existenz einer linearen und stetigen Rechtsinversen von r mit gewissen Stetigkeitsabschätzungen durch Eigenschaften von K charakterisiert werden kann. Auf E(K) führen wir eine reelle Skala von verallgemeinerten Whitney-Seminormen (|·|_{s,K})_{s≥0} ein, wobei |·|_{s,K} für s in N_0 mit den klassischen Whitney-Seminormen übereinstimmt. Auch E(R^d) statten wir mit einer reellen Skala dieser Seminormen (|·|_{s,L})_{s≥0}} aus, wobei L in R^d kompakt ist mit L-° in K. Diese Familie von Seminormen genügt um die Stetigkeitseigenschaften eines Extensionsoperators E zu untersuchen, da ohne Beschränkung der Allgemeinheit E(E(K)) in D^s(L). In Kapitel 2 führen wir grundlegende Begriffe ein und stelle auch die klassischen Ergebnisse von Whitney und Stein zusammengefasst dar. In Kapitel 3 beweisen wir, dass der klassische Extensionsoperator E_n von Whitney |E_n(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} für alle s in [n,n+1) erfüllt. Aufbauend darauf verallgemeinern wir in Kapitel 4 ein Ergebnis von Frerick, Jordá und Wengenroth und zeigen, dass die Eigenschaft LMI(1) für K die Existenz eines Extensionsoperators E ohne Verlust impliziert. Das bedeutet, dass E die Ungleichung |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} für alle s≥0 erfüllt. Wir zeigen, dass eine große Klasse selbstähnlicher Mengen, welche unter anderem die Cantor-Menge und das Sierpinski-Dreieck enthält, einen Extensionsoperator ohne Verlust zulässt. In Kapitel 5 verallgemeinern wir ein Ergebnis von Frerick, Jordá und Wengenroth und zeigen, dass WLMI(r) für r≥1 die Existenz eines zahm-linearen Extensionsoperators mit homogenem Verlust impliziert, welcher für alle s≥0 und ε>0 die Ungleichung |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{(r+ε)s,K} erfüllt. Im letzten Kapitel charakterisieren wir die Existenz eines Extensionsoperators mit beliebig vorgegebenem Verlust durch die Existenz von Maßen auf K.

Download full text files

Export metadata

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar
Metadaten
Author:Arne Jakobs
URN:urn:nbn:de:hbz:385-11636
Advisor:Leonhard Frerick
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2018/08/28
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2018/07/19
Release Date:2018/08/28
Tag:Ausdehnungsoperator; Extensionsoperatoren; Hassler Whitney; Whitney jets; Whitneys Extensionsproblem; optimale Stetigkeitsabschätzungen
Hassler Whitney; Whitney jets; Whitney's extension problem; extension operator; optimal continuity estimates
GND Keyword:Funktionalanalysis; Mathematik; Operatortheorie
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $