Dynamics of the Taylor Shift on Spaces of Holomorphic Functions

Dynamisches Verhalten des Taylor Shifts auf Räumen holomorpher Funktionen

  • We will consider discrete dynamical systems (X,T) which consist of a state space X and a linear operator T acting on X. Given a state x in X at time zero, its state at time n is determined by the n-th iteration T^n(x). We are interested in the long-term behaviour of this system, that means we want to know how the sequence (T^n (x))_(n in N) behaves for increasing n and x in X. In the first chapter, we will sum up the relevant definitions and results of linear dynamics. In particular, in topological dynamics the notions of hypercyclic, frequently hypercyclic and mixing operators will be presented. In the setting of measurable dynamics, the most important definitions will be those of weakly and strongly mixing operators. If U is an open set in the (extended) complex plane containing 0, we can define the Taylor shift operator on the space H(U) of functions f holomorphic in U as Tf(z) = (f(z)- f(0))/z if z is not equal to 0 and otherwise Tf(0) = f'(0). In the second chapter, we will start examining the Taylor shift on H(U) endowed with the topology of locally uniform convergence. Depending on the choice of U, we will study whether or not the Taylor shift is weakly or strongly mixing in the Gaussian sense. Next, we will consider Banach spaces of functions holomorphic on the unit disc D. The first section of this chapter will sum up the basic properties of Bergman and Hardy spaces in order to analyse the dynamical behaviour of the Taylor shift on these Banach spaces in the next part. In the third section, we study the space of Cauchy transforms of complex Borel measures on the unit circle first endowed with the quotient norm of the total variation and then with a weak-* topology. While the Taylor shift is not even hypercyclic in the first case, we show that it is mixing for the latter case. In Chapter 4, we will first introduce Bergman spaces A^p(U) for general open sets and provide approximation results which will be needed in the next chapter where we examine the Taylor shift on these spaces on its dynamical properties. In particular, for 1<=p<2 we will find sufficient conditions for the Taylor shift to be weakly mixing or strongly mixing in the Gaussian sense. For p>=2, we consider specific Cauchy transforms in order to determine open sets U such that the Taylor shift is mixing on A^p(U). In both sections, we will illustrate the results with appropriate examples. Finally, we apply our results to universal Taylor series. The results of Chapter 5 about the Taylor shift allow us to consider the behaviour of the partial sums of the Taylor expansion of functions in general Bergman spaces outside its disc of convergence.
  • In dieser Dissertation betrachten wir diskrete dynamische Systeme (X,T), welche aus einem Zustandsraum X und einer stetigen, linearen Selbstabbildung T auf X bestehen. Bei gegebenen Zustand x in X zum Zeitpunkt 0 ist sein Zustand zur Zeit n gegeben durch die n-te Iteration T^n x. Wir wollen nun das Langzeitverhalten eines dynamischen Systems betrachten, d.h. wir untersuchen das Verhalten der Folge (T^n x)_(n in N) für größer werdende n und einen Zustand x in X. Im ersten Kapitel wollen wir die relevanten Definitionen und Ergebnisse der linearen Dynamik zusammenfassen. Im Rahmen der topologischen Dynamik spielen die Begriffe der hyperzyklischen, frequent hyperzyklischen und mischenden Operatoren eine wichtige Rolle. Im Bereich der messbaren Dynamik werden schwach und stark mischende Operatoren im gaußschen Sinne von Bedeutung sein. Für eine offene Menge U in der (erweiterten) komplexen Ebene, welche die 0 enthält, können wir den Taylor Shift Operator auf der Menge H(U) der auf U holomorphen Funktionen definieren durch Tf(z) = (f(z)-f(0))/z, falls z ungleich 0, und sonst Tf(0) = f'(0). Im zweiten Kapitel werden wir diesen Operator auf H(U) versehen mit der Topologie der lokal gleichmäßigen Konvergenz untersuchen. Abhängig von der Wahl von U werden wir prüfen, ob dieser schwach oder stark mischend im gaußschen Sinne ist. Anschließend werden wir Banach Räume von Funktionen, welche holomorph auf dem Einheitskreis sind, betrachten. Im ersten Abschnitt werden wir die nötigen Ergebnisse für Bergman und Hardy Räume zusammenfassen, um im nächsten Abschnitt den Taylor Shift auf diesen Räumen auf sein dynamisches Verhalten zu untersuchen. Im dritten Abschnitt betrachten wir den Raum der Cauchy Transformierten über komplexe Borel Maße. Während der Taylor Shift auf diesem Raum versehen mit der Quotientennorm der Totalvariation nicht hyperzyklisch ist, können wir zeigen, dass er sogar mischend ist vermöge der schwach-*-Topologie. In Kapitel 4 werden wir die relevanten Ergebnisse für Bergman Räume auf allgmeinen offenen Mengen präsentieren und zwei Approximationsergebnisse auf diesen Räumen zeigen. Diese werden im folgenden Kapitel benötigt um für den Fall 1<=p<2 ein hinreichendes Kriterium zu liefern dafür, dass der Taylor Shift schwach bzw. stark mischend im gaußschen Sinne ist. Weiterhin zeigen wir für p>=2 mit Hilfe bestimmter Cauchy Transformierter, wann der Taylor Shift mischend ist. In beiden Fällen wollen wir die Ergebnisse mit passenden Beispielen verdeutlichen. Abschließend wollen wir unsere Ergebnisse aus dem fünften Kapitel auf universelle Taylorreihen anwenden. Dadurch können wir Rückschlüsse ziehen über das Verhalten der Taylor-Teilsummen von Funktionen aus den Bergman Räumen außerhalb ihrer Konvergenzkreisscheibe.

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Metadaten
Author:Maike Thelen
URN:urn:nbn:de:hbz:385-11654
Advisor:Jürgen Müller
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2018/08/28
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2018/07/13
Release Date:2018/08/28
Tag:Lineare Dynamik; Taylor Shift Operator; Universalität
Taylor shift operator; linear dynamics; universality
GND Keyword:Approximationstheorie; Funktionentheorie; Operatortheorie
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $