• search hit 1 of 1113
Back to Result List

Stochastic Particle Systems and Optimization - Branching Processes, Mean Field Games and Impulse Control

  • This thesis addresses three different topics from the fields of mathematical finance, applied probability and stochastic optimal control. Correspondingly, it is subdivided into three independent main chapters each of which approaches a mathematical problem with a suitable notion of a stochastic particle system. In Chapter 1, we extend the branching diffusion Monte Carlo method of Henry-Labordère et. al. (2019) to the case of parabolic PDEs with mixed local-nonlocal analytic nonlinearities. We investigate branching diffusion representations of classical solutions, and we provide sufficient conditions under which the branching diffusion representation solves the PDE in the viscosity sense. Our theoretical setup directly leads to a Monte Carlo algorithm, whose applicability is showcased in two stylized high-dimensional examples. As our main application, we demonstrate how our methodology can be used to value financial positions with defaultable, systemically important counterparties. In Chapter 2, we formulate and analyze a mathematical framework for continuous-time mean field games with finitely many states and common noise, including a rigorous probabilistic construction of the state process. The key insight is that we can circumvent the master equation and reduce the mean field equilibrium to a system of forward-backward systems of (random) ordinary differential equations by conditioning on common noise events. We state and prove a corresponding existence theorem, and we illustrate our results in three stylized application examples. In the absence of common noise, our setup reduces to that of Gomes, Mohr and Souza (2013) and Cecchin and Fischer (2020). In Chapter 3, we present a heuristic approach to tackle stochastic impulse control problems in discrete time. Based on the work of Bensoussan (2008) we reformulate the classical Bellman equation of stochastic optimal control in terms of a discrete-time QVI, and we prove a corresponding verification theorem. Taking the resulting optimal impulse control as a starting point, we devise a self-learning algorithm that estimates the continuation and intervention region of such a problem. Its key features are that it explores the state space of the underlying problem by itself and successively learns the behavior of the optimally controlled state process. For illustration, we apply our algorithm to a classical example problem, and we give an outlook on open questions to be addressed in future research.
  • Die vorliegende Arbeit behandelt drei verschiedene Themen aus den Bereichen Finanzmathematik, angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Optimalsteuerung. Sie ist folglich in drei unabhängige Kapitel unterteilt, von welchen jedes sich einem mathematischen Problem mit einem geeigneten stochastischen Partikelsystem nähert. In Kapitel 1 erweitern wir die Branching Diffusion-Monte-Carlo-Methode von Henry-Labordère et. al. (2019) auf den Fall parabolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) mit gemischt lokal-nichtlokalen analytischen Nichtlinearitäten. Dabei untersuchen wir die Darstellung klassischer Lösungen mittels Branching Diffusions und geben hinreichende Bedingungen dafür an, dass eine ebensolche Darstellung die vorliegende PDE im Viskositätssinne löst. Unsere theoretischen Überlegungen führen unmittelbar zu einem Monte-Carlo-Algorithmus, dessen Anwendbarkeit wir in zwei stilisierten hochdimensionalen Beispielen demonstrieren. Unsere Hauptanwendung zeigt auf, wie unser Verfahren zur Bewertung von Derivatepositionen mit ausfallgefährdeten systemrelevanten Kontrahenten verwendet werden kann. In Kapitel 2 formulieren und analysieren wir einen mathematischen Rahmen für Mean Field Games in stetiger Zeit mit endlich vielen Zuständen und Common Noise - einschließlich einer rigorosen probabilistischen Konstruktion des Zustandsprozesses. Die wesentliche Erkenntnis ist, dass wir die Master Equation umgehen und, durch Bedingen auf Common Noise-Ereignisse, das Mean Field-Gleichgewicht auf ein Vorwärts-Rückwärtssystem von (zufälligen) gewöhnlichen Differentialgleichungen reduzieren können. Wir formulieren und beweisen ein zugehöriges Existenzresultat und illustrieren unsere Ergebnisse in drei stilisierten Anwendungsbeispielen. Ohne Common Noise reduziert sich unser Modell auf das von Gomes, Mohr und Souza (2013) und Cecchin und Fischer (2020). In Kapitel 3 stellen wir einen heuristischen Zugang zu stochastischen Impulskontrollproblemen in diskreter Zeit vor. Basierend auf der Arbeit von Bensoussan (2008) formulieren wir die klassische Bellman-Gleichung der stochastischen Optimalsteuerung in die Form einer quasi-variationellen Ungleichung in diskreter Zeit um und beweisen einen zugehörigen Verifikationssatz. Ausgehend von der resultierenden optimalen Impulskontrolle entwickeln wir sodann einen selbstlernenden Algorithmus, der die (Nicht-)Eingreifregion eines solchen Problems approximiert. Seine wesentlichen Eigenschaften sind, dass er den Zustandsraum des zugrundeliegenden Problems selbst erkundet und das Verhalten des optimal gesteuerten Zustandsprozesses sukzessive lernt. Zur Veranschaulichung wenden wir unseren Algorithmus auf ein klassisches Beispielproblem an und geben einen Ausblick auf offene, in Zukunft zu behandelnde Forschungsfragen.

Download full text files

Export metadata

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar
Metadaten
Author:Daniel Hoffmann
URN:urn:nbn:de:hbz:385-1-14917
Referee:Frank Seifried, Volker Schulz, Sören Christensen
Advisor:Frank Seifried
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2020/11/09
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2020/10/28
Release Date:2020/11/17
Tag:Branching Diffusion; Common Noise; Discrete-Time Impulse Control; Mean Field Games; Mixed Local-Nonlocal PDE
Number of pages:187
Institutes:Fachbereich 4
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):License LogoCC BY-NC-ND: Creative-Commons-Lizenz 4.0 International

$Rev: 13581 $