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On particles, fibers and suspension flows

Partikel, Fäden und Suspensionsströmungen

  • This work studies typical mathematical challenges occurring in the modeling and simulation of manufacturing processes of paper or industrial textiles. In particular, we consider three topics: approximate models for the motion of small inertial particles in an incompressible Newtonian fluid, effective macroscopic approximations for a dilute particle suspension contained in a bounded domain accounting for a non-uniform particle distribution and particle inertia, and possibilities for a reduction of computational cost in the simulations of slender elastic fibers moving in a turbulent fluid flow. We consider the full particle-fluid interface problem given in terms of the Navier-Stokes equations coupled to momentum equations of a small rigid body. By choosing an appropriate asymptotic scaling for the particle-fluid density ratio and using an asymptotic expansion for the solution components, we derive approximations of the original interface problem. The approximate systems differ according to the chosen scaling of the density ratio in their physical behavior allowing the characterization of different inertial regimes. We extend the asymptotic approach to the case of many particles suspended in a Newtonian fluid. Under specific assumptions for the combination of particle size and particle number, we derive asymptotic approximations of this system. The approximate systems describe the particle motion which allows to use a mean field approach in order to formulate the continuity equation for the particle probability density function. The coupling of the latter with the approximation for the fluid momentum equation then reveals a macroscopic suspension description which accounts for non-uniform particle distributions in space and for small particle inertia. A slender fiber in a turbulent air flow can be modeled as a stochastic inextensible one-dimensionally parametrized Kirchhoff beam, i.e., by a stochastic partial differential algebraic equation. Its simulations involve the solution of large non-linear systems of equations by Newton's method. In order to decrease the computational time, we explore different methods for the estimation of the solution. Additionally, we apply smoothing techniques to the Wiener Process in order to regularize the stochastic force driving the fiber, exploring their respective impact on the solution and performance. We also explore the applicability of the Wiener chaos expansion as a solution technique for the simulation of the fiber dynamics.
  • Diese Arbeit beschäftigt sich mit typischen mathematischen Herausforderungen, welche im Bereich der Modellierung und Simulation von Fertigungsprozessen der Papierproduktion oder technischer Textilien auftauchen. Im Besonderen widmet sich der vorliegende Text einerseits approximativen Modellen für die Bewegung kleiner trägheitsbehafteter Partikel in einem inkompressiblen Newtonschen Fluid. Des Weiteren werden effektive makroskopische Approximationen verdünnter Partikelsuspensionen in einem beschränkten Gebiet betrachtet, die sowohl allgemeine Verteilungen als auch Partikelträgheit berücksichtigen. Außerdem werden Methoden zur Reduzierung der Rechenzeit bei Simulationen dünner elastischer Fäden in einer turbulenten Strömung betrachtet. Wir untersuchen das über die Partikeloberfläche gekoppelte Partikel-Fluid Problem, welches durch die Navier-Stokes Gleichungen in Kombination mit den Impulsbilanzgleichungen eines starren Körpers beschrieben wird. Durch die Wahl einer bestimmten asymptotischen Skalierung für das Verhältnis der Partikel- und Fluiddichte sowie der Anwendung der asymptotischen Entwicklung der Lösungskomponenten, leiten wir Näherungen des Ausgangsproblems her. Die resultierenden approximierenden Systeme unterscheiden sich je nach gewählter Dichteskalierung im physikalischen Verhalten, was uns die Charakterisierung der jeweiligen Trägheitsregime erlaubt. Des Weiteren wenden wir das asymptotische Vorgehen auch auf den Fall vieler Partikel an, welche von einem Newtonschen Fluid umgeben sind. Unter einer Reihe von Annahmen an die Kombination von Partikelgröße und -anzahl, leiten wir asymptotische Approximationen des Gesamtsystems her. Diese Näherungssysteme beschreiben auch die Partikelbewegung, wodurch wir mit Hilfe eines Mean-Field Ansatzes imstande sind, die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Partikel herzuleiten. Die Kopplung der Letzteren an die Approximation der Impulsbilanz des Fluids ergibt die makroskopische Suspensionsbeschreibung, welche sowohl nicht-gleichmäßige Partikelverteilungen als auch kleine Trägheitseffekte der Partikel berücksichtigt. Ein dünner Faden, welcher einer turbulenten Luftströmung ausgesetzt ist, kann als stochastischer, nicht dehnbarer, eindimensional parametrisierter Kirchhoff-Balken modelliert werden. Das heißt, er wird durch eine stochastische, partielle differentialalgebraische Gleichung beschrieben. Die Simulation solcher Modelle erfordert das Lösen großer, nicht linearer Gleichungssysteme durch das Newton-Verfahren. Um die benötigte Rechenzeit solcher Simulationen zu verringern, untersuchen wir unterschiedliche Lösungsschätzer für das Newton-Verfahren. Zusätzlich erforschen wir die Auswirkungen unterschiedlicher Glättungsmethoden des Wiener Prozesses, welche die treibende stochastische Kraft regularisieren, auf die Lösung und die Performanz der Fadensimulation. Des Weiteren untersuchen wir die Anwendbarkeit der "Wiener chaos expansion" zur Simulation stochastischer Fadendynamik.

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Metadaten
Author:Alexander Vibe
URN:urn:nbn:de:hbz:385-1-15062
Referee:Nicole Marheineke, Eberhard Bänsch, Leonhard Frerick
Advisor:Nicole Marheineke
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2020/12/09
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2020/08/11
Release Date:2021/01/12
Tag:asymptotic analysis; dilute particle suspension; incompressible Newtonian fluid; mean field approximation; stochastic partial differential algebraic equation
Institutes:Fachbereich 4
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):License LogoCC BY-ND: Creative-Commons-Lizenz 4.0 International

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