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Some Preconditioners in Optimization with Partial Differential Equations

Vorkonditionierer in der Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen

  • Krylov subspace methods are often used to solve large-scale linear equations arising from optimization problems involving partial differential equations (PDEs). Appropriate preconditioning is vital for designing efficient iterative solvers of this type. This research consists of two parts. In the first part, we compare two different kinds of preconditioners for a conjugate gradient (CG) solver attacking one partial integro-differential equation (PIDE) in finance, both theoretically and numerically. An analysis on mesh independence and rate of convergence of the CG solver is included. The knowledge of preconditioning the PIDE is applied to a relevant optimization problem. The second part aims at developing a new preconditioning technique by embedding reduced order models of nonlinear PDEs, which are generated by proper orthogonal decomposition (POD), into deflated Krylov subspace algorithms in solving corresponding optimization problems. Numerical results are reported for a series of test problems.
  • Krylov Unterraum Methoden werden oft verwendet, um hochdimensionale lineare Gleichungen, wie sie bei Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen (PDE) entstehen, zu lösen. Um hierzu effiziente iterative Löser zu entwickeln, ist eine passende Vorkonditionierung unerlässlich. Die vorliegende Dissertation setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Im ersten Teil werden zwei verschiedene Vorkonditionierer für einen Konjugierten Gradienten (CG) Löser, welcher auf eine spezielle partielle Integro Differentialgleichung (PIDE) aus dem Finanzbereich angewendet wird, sowohl theoretisch als auch numerisch verglichen. Hierbei werden ebenfalls die Gitterunabhängigkeit und Konvergenzrate analysiert. Das dabei erlangte Wissen über die Vorkonditionierung der PIDE wird im Anschluss daran auf ein verwandtes Optimierungsproblem angewendet. Der zweite Teil zielt darauf ab, mittels Einbindung von Modellen reduzierter Ordnung in sogenannte Deflated Krylov Unterraum Methoden eine neue Vorkonditionierungstechnik zu entwickeln und diese auf die zugehörigen Optimierungsprobleme anzuwenden. Die dabei verwendeten Modelle reduzierter Ordnung stammen von nichtlinearen PDEs und werden mittels Proper Orthogonal Decomposition (POD) erzeugt. Dem schließen sich numerische Ergebnisse für eine Serie von Testproblemen an.

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Metadaten
Author: Xuancan Ye
URN:urn:nbn:de:hbz:385-7960
Advisor:Ekkehard Sachs
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2013/03/27
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2013/03/14
Release Date:2013/03/27
Tag:Optimierung bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen; Vorkonditionierung; partielle Integro Differentialgleichung
Krylov subspace methods; PDE-constrained optimization; partial integro-differential equation; preconditioning; proper orthogonal decomposition
GND Keyword:Krylov-Verfahren; Optimierung; POD-Methode; Partielle Differentialgleichung; Spektrum <Mathematik>
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $