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## The Hadamard product and universal power series

### Das Hadamardprodukt und universelle Potenzreihen

• The thesis studies the question how universal behavior is inherited by the Hadamard product. The type of universality that is considered here is universality by overconvergence; a definition will be given in chapter five. The situation can be described as follows: Let f be a universal function, and let g be a given function. Is the Hadamard product of f and g universal again? This question will be studied in chapter six. Starting with the Hadamard product for power series, a definition for a more general context must be provided. For plane open sets both containing the origin this has already been done. But in order to answer the above question, it becomes necessary to have a Hadamard product for functions that are not holomorphic at the origin. The elaboration of such a Hadamard product and its properties are the second central part of this thesis; chapter three will be concerned with them. The idea of the definition of such a Hadamard product will follow the case already known: The Hadamard product will be defined by a parameter integral. Crucial for this definition is the choice of appropriate integration curves; these will be introduced in chapter two. By means of the Hadamard product- properties it is possible to prove the Hadamard multiplication theorem and the Borel-Okada theorem. A generalization of these theorems will be presented in chapter four.
• Die vorliegende Dissertation untersucht die Frage, inwieweit sich die Universalitätseigenschaft von Funktionen auf Hadamardprodukte überträgt. Der betrachtete Universalitätsbegriff ist dabei der der universellen Überkonvergenz. Eine Definition universell überkonvergenter Funktionen und einige ihrer Eigenschaften werden im fünften Kapitel gegeben. Die Situation kann folgendermaßen beschrieben werden: Es sei f eine universelle Funktion, und es sei g eine gegebene Funktion. Ist dann deren Hadamardprodukt wieder universell? Dieser Frage wird im sechsten Kapitel nachgegangen. Die erste Definition eines Hadamardproduktes wurde für Potenzreihen gegeben. Später wurde eine Definition für offene Teilmengen der komplexen Ebene, die beide den Ursprung enthalten, gegeben. Die Beantwortung obiger Frage macht es allerdings erforderlich, ein Hadamardprodukt zur Verfügung zu haben, das auch auf Funktionen angewandt werden kann, die nicht im Ursprung holomorph sind. Die Entwicklung eines solchen Hadamardproduktes und seiner Eigenschaften ist ein weiterer zentraler Punkt der Dissertation, der im dritten Kapitel bearbeitet wird. Die Idee folgt dabei dem bereits bekannten Fall: Das Hadamardprodukt wird über ein Parameterintegral definiert. Dabei ist stellt sich die Aufgabe, passende Integrationszyklen zu finden, welche im zweiten Kapitel eingeführt werden. Mit Hilfe der Eigenschaften des Hadamardproduktes lassen sich der Hadamardsche Multiplikationssatz und der Satz von Borel-Okada beweisen. Eine Verallgemeinerung dieser beiden Sätze wird im vierten Kapitel bewiesen.