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## Composition operators witch closed range between spaces of smooth functions

### Kompositionsoperatoren mit abgeschlossenem Bild zwischen Räume glatter Funktionen

• One of the main tasks in mathematics is to answer the question whether an equation possesses a solution or not. In the 1940- Thom and Glaeser studied a new type of equations that are given by the composition of functions. They raised the following question: For which functions Î¨ does the equation F(Î¨)=f always have a solution. Of course this question only makes sense if the right hand side f satisfies some a priori conditions like being contained in the closure of the space of all compositions with Î¨ and is easy to answer if F and f are continuous functions. Considering further restrictions to these functions, especially to F, extremely complicates the search for an adequate solution. For smooth functions one can already find deep results by Bierstone and Milman which answer the question in the case of a real-analytic function Î¨. This work contains further results for a different class of functions, namely those Î¨ that are smooth and injective. In the case of a function Î¨ of a single real variable, the question can be fully answered and we give three conditions that are both sufficient and necessary in order for the composition equation to always have a solution. Furthermore one can unify these three conditions to show that they are equivalent to the fact that Î¨ has a locally Hölder-continuous inverse. For injective functions Î¨ of several real variables we give necessary conditions for the composition equation to be solvable. For instance Î¨ should satisfy some form of local distance estimate for the partial derivatives. Under the additional assumption of the Whitney-regularity of the image of Î¨, we can give sufficient conditions for flat functions f on the critical set of Î¨ to possess a solution F(Î¨)=f.
• Die Klärung der Frage nach der Lösbarkeit einer Gleichung ist eine der Kernaufgaben der Mathematik. In den 1940er Jahre untersuchten Thom und Glaeser erstmals spezielle Gleichungen die durch Komposition, also Hintereinanderschaltung, von Funktionen erzeugt werden. Sie stellten speziell die Frage für welche Funktionen Î¨ die Gleichung F(Î¨) = f immer eine Lösung besitzt. Die Frage nach der Existenz einer Lösung ist schnell beantwortet, falls man von F und f nur Stetigkeit verlangt. Werden zusätzliche Restriktionen an diese Funktionen gestellt, so erschwert sich die Suche nach einer Lösung erheblich. Für glatte, also unendlich oft differenzierbare, Funktionen F und f gibt es bereits tiefgehende Resultate. Diese sind allerdings auf den restriktiven Fall begrenzt, dass die Abbildung Î¨ reell-analytisch ist. Diese Arbeit enthält Resultate für eine andere Klasse von Funktionen, nämlich solche die injektiv und glatt sind. Für den Fall von Abbildungen Î¨ einer Variable wird die Lösbarkeit der Gleichung umfassend beschrieben. Für Funktionen von mehreren Variablen werden notwendige Bedingungen beschrieben. Diese sind unter gewissen Zusatzvoraussetzungen auch hinreichend. Dadurch ist es möglich, anhand von einfachen Bedingungen an f und Î¨ die Frage nach der Existenz einer Lösung zu klären.

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Author: Nicolas François Kenessey urn:nbn:de:hbz:385-8089 Jochen Wengenroth Doctoral Thesis English 2013/06/12 Universität Trier Universität Trier, Fachbereich 4 2013/04/26 2013/06/12 Kompositionsalgebra; KompositionsoperatorComposition algebra; Composition operator Analysis; Funktionalanalysis Fachbereich 4 / Mathematik 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

\$Rev: 13581 \$