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## Extension Operators with Optimal Continuity Estimates

### Extensionsoperatoren mit Optimalen Stetigkeitsabschätzungen

• Given a compact set K in R^d, the theory of extension operators examines the question, under which conditions on K, the linear and continuous restriction operators r_n:E^n(R^d)→E^n(K),f↦(∂^α f|_K)_{|α|≤n}, n in N_0 and r:E(R^d)→E(K),f↦(∂^α f|_K)_{α in N_0^d}, have a linear and continuous right inverse. This inverse is called extension operator and this problem is known as Whitney's extension problem, named after Hassler Whitney. In this context, E^n(K) respectively E(K) denote spaces of Whitney jets of order n respectively of infinite order. With E^n(R^d) and E(R^d), we denote the spaces of n-times respectively infinitely often continuously partially differentiable functions on R^d. Whitney already solved the question for finite order completely. He showed that it is always possible to construct a linear and continuous right inverse E_n for r_n. This work is concerned with the question of how the existence of a linear and continuous right inverse of r, fulfilling certain continuity estimates, can be characterized by properties of K. On E(K), we introduce a full real scale of generalized Whitney seminorms (|·|_{s,K})_{s≥0}, where |·|_{s,K} coincides with the classical Whitney seminorms for s in N_0. We equip also E(R^d) with a family (|·|_{s,L})_{s≥0} of those seminorms, where L shall be a a compact set with K in L-°. This family of seminorms on E(R^d) suffices to characterize the continuity properties of an extension operator E, since we can without loss of generality assume that E(E(K)) in D^s(L). In Chapter 2, we introduce basic concepts and summarize the classical results of Whitney and Stein. In Chapter 3, we modify the classical construction of Whitney's operators E_n and show that |E_n(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for s in[n,n+1). In Chapter 4, we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that LMI(1) for K implies the existence of an extension operator E without loss of derivatives, i.e. we have it fulfils |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for all s≥0. We show that a large class of self similar sets, which includes the Cantor set and the Sierpinski triangle, admits an extensions operator without loss of derivatives. In Chapter 5 we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that WLMI(r) for r≥1 implies the existence of a tame linear extension operator E having a homogeneous loss of derivatives, such that |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{(r+ε)s,K} for all s≥0 and all ε>0. In the last chapter we characterize the existence of an extension operator having an arbitrary loss of derivatives by the existence of measures on K.
• Gegeben sei eine kompakte Menge K in R^d. Die Theorie der Extensionsoperatoren beschäftigt sich mit der Frage, welche Eigenschaften K haben muss, damit die linearen und stetigen Einschränkungen r_n:E^n(R^d)→E^n(K),f↦(∂^α f|_K)_{|α|≤n}, n in N_0 und r:E(R^d)→E(K),f↦(∂^α f|_K)_{α in N_0^d}, eine lineare und stetige Rechtsinverse besitzen. Die Inverse wird als Extensionsoperator bezeichnet und dieses Problem ist bekannt als Whitneys Extensionsproblem, benannt nach Hassler Whitney. In diesem Zusammenhang bezeichnen E^n(K) beziehungsweise E(K) die Räume der Whitney-Funktionen auf K der Ordnung n beziehungsweise unendlicher Ordnung. Mit E^n(R^d) beziehungsweise E(R^d) bezeichnen wir die Räume n-mal beziehungsweise unendlich oft stetig partiell differenzierbarer Funktionen auf R^d. Whitney löste dieses Problem für r_n bereits vollständig. Er konnte zeigen, dass es immer, unabhängig von den Eigenschaften von K, möglich ist eine lineare und stetige Rechtsinverse E_n von r_n zu konstruieren. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie die Existenz einer linearen und stetigen Rechtsinversen von r mit gewissen Stetigkeitsabschätzungen durch Eigenschaften von K charakterisiert werden kann. Auf E(K) führen wir eine reelle Skala von verallgemeinerten Whitney-Seminormen (|·|_{s,K})_{s≥0} ein, wobei |·|_{s,K} für s in N_0 mit den klassischen Whitney-Seminormen übereinstimmt. Auch E(R^d) statten wir mit einer reellen Skala dieser Seminormen (|·|_{s,L})_{s≥0}} aus, wobei L in R^d kompakt ist mit L-° in K. Diese Familie von Seminormen genügt um die Stetigkeitseigenschaften eines Extensionsoperators E zu untersuchen, da ohne Beschränkung der Allgemeinheit E(E(K)) in D^s(L). In Kapitel 2 führen wir grundlegende Begriffe ein und stelle auch die klassischen Ergebnisse von Whitney und Stein zusammengefasst dar. In Kapitel 3 beweisen wir, dass der klassische Extensionsoperator E_n von Whitney |E_n(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} für alle s in [n,n+1) erfüllt. Aufbauend darauf verallgemeinern wir in Kapitel 4 ein Ergebnis von Frerick, Jordá und Wengenroth und zeigen, dass die Eigenschaft LMI(1) für K die Existenz eines Extensionsoperators E ohne Verlust impliziert. Das bedeutet, dass E die Ungleichung |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} für alle s≥0 erfüllt. Wir zeigen, dass eine große Klasse selbstähnlicher Mengen, welche unter anderem die Cantor-Menge und das Sierpinski-Dreieck enthält, einen Extensionsoperator ohne Verlust zulässt. In Kapitel 5 verallgemeinern wir ein Ergebnis von Frerick, Jordá und Wengenroth und zeigen, dass WLMI(r) für r≥1 die Existenz eines zahm-linearen Extensionsoperators mit homogenem Verlust impliziert, welcher für alle s≥0 und ε>0 die Ungleichung |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{(r+ε)s,K} erfüllt. Im letzten Kapitel charakterisieren wir die Existenz eines Extensionsoperators mit beliebig vorgegebenem Verlust durch die Existenz von Maßen auf K.