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Universelle meromorphe Approximation

Universal meromorphic approximation

  • Das erste Beispiel einer so genannten universellen holomorphen Funktion stammt von Birkhoff, welcher im Jahre 1929 die Existenz einer ganzen Funktion beweisen konnte, die gewissermaßen jede ganze Funktion durch geeignete Translationen approximieren kann. In der Folgezeit hat sich der Bereich der "universellen Approximation" zu einem eigenständigen Gebiet innerhalb der komplexen Approximationstheorie entwickelt, und es gibt eine Vielzahl an Ergebnissen über universelle Funktionen. Hierbei wurde sich allerdings fast ausschließlich auf das Studium holomorpher und ganzer Funktionen beschränkt, insbesondere die Klasse der meromorphen Funktionen wurde bisher kaum auf das Phänomen der Universalität hin untersucht. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit universeller meromorpher Approximation, und geht der Fragestellung nach, ob meromorphe Funktionen mit gewissen Universalitätseigenschaften existieren, und ob die klassischen Ergebnisse aus der universellen holomorphen Approximation auf den meromorphen Fall erweiterbar sind. Hierbei wird zunächst zwischen Translations- und Streckungsuniversalität unterschieden und bewiesen, dass in beiden Fällen jeweils eine im Raum der meromorphen Funktionen residuale Menge an universellen Funktionen existiert. Weiterhin werden die Eigenschaften dieser Funktionen ausführlich studiert. Anschließend werden meromorphe Funktionen auf Ableitungsuniversalität hin untersucht. Hierbei wird einerseits gezeigt, dass im Allgemeinen keine positiven Ergebnisse möglich sind, während andererseits eine spezielle Klasse meromorpher Funktionen betrachtet wird, für welche universelles Verhalten der sukzessiven Ableitungen nachgewiesen werden kann.
  • The first example of a so-called universal holomorphic function is due to Birkhoff, who proved in 1929 the existence of an entire function that can approximate every entire function by suitable translates. Since then, "universal approximation" has become an independent field of research, and a large number of results concerning universal functions have been discovered. However, the known results deal almost exclusvely with holomorphic and entire functions, and particularly the class of meromorphic functions has scarcely been studied with regard to universality up to now. In this work, we consider the problem of universal meromorphic approximation and deal with the question, if meromorphic functions may share some universal properties and if the classic results from universal holomorphic approximation can be extended to the meromorphic case. We first consider meromorphic functions that are universal under translations and dilations, and prove that in both cases the set of universal functions is residual in the space of all meromorphic functions. Furthermore, we study the properties of these functions. Finally, we investigate the existence of meromorphic functions that are universal under successive differentiation. We shall see that, in general, the successive derivatives of meromorphic functions cannot possess universal properties, although we shall also be able to prove that for a special class of functions, universal behaviour of the derivatives is possible.

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Metadaten
Author:Thierry Meyrath
URN:urn:nbn:de:hbz:385-6464
Advisor:Wolfgang Luh
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2011/07/04
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2011/04/15
Release Date:2011/07/04
Tag:Approximation im Komplexen; rationale und meromorphe Approximation; sukzessive Ableitungen; universelle Funktionen
complex analysis; complex approximation; final set; meromorphic functions; universal functions
GND Keyword:Analysis; Funktionentheorie; Komplexe Approximation; Meromorphe Funktion; Universalität
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Dxx Entire and meromorphic functions, and related topics / 30D30 Meromorphic functions, general theory
30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Dxx Entire and meromorphic functions, and related topics / 30D40 Cluster sets, prime ends, boundary behavior
30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Exx Miscellaneous topics of analysis in the complex domain / 30E10 Approximation in the complex domain
30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Kxx Universal holomorphic functions / 30K99 None of the above, but in this section
41-XX APPROXIMATIONS AND EXPANSIONS (For all approximation theory in the complex domain, see 30E05 and 30E10; for all trigonometric approximation and interpolation, see 42A10 and 42A15; for numerical approximation, see 65Dxx) / 41Axx Approximations and expansions / 41A20 Approximation by rational functions

$Rev: 13581 $