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Marcinkiewicz-Funktionen in der komplexen Ebene und universelle Approximationsoperatoren

Marcinkiewicz-functions in the complex plane and universal approximation operators

  • Wenn eine stets von Null verschiedene Nullfolge h_n gegeben ist, dann existieren nach einem Satz von Marcinkiewicz stetige Funktionen f vom Intervall [0,1] in die reelle Achse, die in dem Sinne maximal nicht differenzierbar sind, dass zu jeder messbaren Funktion g ein Teilfolge n_k existiert, so dass (f(x+h_n_k)-f(x))/h_n_k fast sicher gegen g konvergiert. Im ersten Teil dieser Arbeit beweisen wir Erweiterungen dieses Satzes im Mehrdimensionalen und Analoga für Funktionen in der komplexen Ebene. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit Operatoren die in enger Beziehung zum Satz von Korovkin über positive lineare Operatoren stehen. Wir zeigen, dass es Operatoren L_n gibt, die jeweils eine der Eigenschaften aus dem Satz von Korovkin nicht erfüllen und gleichzeitig eine residuale Menge von Funktionen f existiert, so dass L_nf nicht nur nicht gegen f konvergiert, sondern sogar dicht im Raum aller stetigen Funktionen des Intervalls [0,1] ist. Ähnliche Phänomene werden bei polynomieller Interpolation untersucht.
  • If a sequence h_n is given, that tends to zero but is always non-zero, then there exist, according to a theorem of Marcinkiewicz, functions f that are in that sense in a maximal way not differentiable, that to every measurable function g there is a subsequence n_k such that (f(x+h_n_k)-f(x))/h_n_k converges almost everywhere to g. In the first part of this thesis, we proof extensions for the multi-dimensional case and analogs for functions in the complex plane. The second part of the thesis deals with operators, that are closely related to the theorem of Korovkin on linear and positive operators. We show that if an arbitrary condition in the theorem of Korovkin is violated, then there are operators L_n that satisfy the remaining two conditions, such that there is a residual set of functions f, such that L_nf does not only not converge to f, but is even dense in the space of all continuous functions of the interval [0,1]. Similar phenomena in polynomial interpolation are also investigated.

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Metadaten
Author:Andreas Vogt
URN:urn:nbn:de:hbz:385-5127
Advisor:Wolfgang Luh
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2009/02/04
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2008/12/17
Release Date:2009/02/04
Tag:universelle Funktionen
universal functions
GND Keyword:Approximationstheorie; Funktionentheorie; Korovkin-Satz; Polynom-Interpolationsverfahren
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $