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Feasibility and Efficiency of Monte Carlo based Calibration of Financial Market Models

Zulässigkeit und Effizienz von Monte Carlo basierter Kalibrierung von Finanzmarktmodellen

• This thesis introduces a calibration problem for financial market models based on a Monte Carlo approximation of the option payoff and a discretization of the underlying stochastic differential equation. It is desirable to benefit from fast deterministic optimization methods to solve this problem. To be able to achieve this goal, possible non-differentiabilities are smoothed out with an appropriately chosen twice continuously differentiable polynomial. On the basis of this so derived calibration problem, this work is essentially concerned about two issues.rnrnFirst, the question occurs, if a computed solution of the approximating problem, derived by applying Monte Carlo, discretizing the SDE and preserving differentiability is an approximation of a solution of the true problem. Unfortunately, this does not hold in general but is linked to certain assumptions. It will turn out, that a uniform convergence of the approximated objective function and its gradient to the true objective and gradient can be shown under typical assumptions, for instance the Lipschitz continuity of the SDE coefficients. This uniform convergence then allows to show convergence of the solutions in the sense of a first order critical point. Furthermore, an order of this convergence in relation to the number of simulations, the step size for the SDE discretization and the parameter controlling the smooth approximation of non-differentiabilites will be shown. Additionally the uniqueness of a solution of the stochastic differential equation will be analyzed in detail.rnrnSecondly, the Monte Carlo method provides only a very slow convergence. The numerical results in this thesis will show, that the Monte Carlo based calibration indeed is feasible if one is concerned about the calculated solution, but the required calculation time is too long for practical applications. Thus, techniques to speed up the calibration are strongly desired. As already mentioned above, the gradient of the objective is a starting point to improve efficiency. Due to its simplicity, finite differences is a frequently chosen method to calculate the required derivatives. However, finite differences is well known to be very slow and furthermore, it will turn out, that there may also occur severe instabilities during optimization which may lead to the break down of the algorithm before convergence has been reached. In this manner a sensitivity equation is certainly an improvement but suffers unfortunately from the same computational effort as the finite difference method. Thus, an adjoint based gradient calculation will be the method of choice as it combines the exactness of the derivative with a reduced computational effort. Furthermore, several other techniques will be introduced throughout this thesis, that enhance the efficiency of the calibration algorithm. A multi-layer method will be very effective in the case, that the chosen initial value is not already close to the solution. Variance reduction techniques are helpful to increase accuracy of the Monte Carlo estimator and thus allow for fewer simulations. Storing instead of regenerating the random numbers required for the Brownian increments in the SDE will be efficient, as deterministic optimization methods anyway require to employ the identical random sequence in each function evaluation. Finally, Monte Carlo is very well suited for a parallelization, which will be done on several central processing units (CPUs).
• Zur Bewertung von Finanzmarktprodukten, die nicht liquide gehandelt werden, benötigen Händler ein Preismodell, das zuvor an Marktdaten kalibriert wurde. Für die Entwicklung eines Optimierungsalgorithmus, der das auftretenden Kalibrierungsproblem löst, sind vor allem zwei Voraussetzungen zu nennen. rnrnZunächst ist seit der Erfindung des Modells von Black und Scholes im Jahre 1973 eine Entwicklung zu komplizierteren Modellen mit zum Beispiel stochastischer Volatilität oder lokaler Volatiliät zu beobachten. Diese Entwicklung erfordert eine möglichst flexible Methode zur Approximation der Modellpreise. Änderungen der Modellstruktur sollten durch möglichst wenige Änderungen der Implementierung realisierbar sein. In diesem Zusammenhang ist die Monte Carlo Simulation in Kombination mit einem Diskretisierungsverfahren zur approximativen Lösung der stochastischen Differentialgleichung eine gute Wahl. Bekanntermaßen ist jedoch die Konvergenzgeschwindigkeit der Monte Carlo Methode sehr langsam, was in direktem Widerspruch zur zweiten Voraussetzung an den Algorithmus steht. Damit das entwickelte Programm in der Praxis angewendet werden kann, muss die Preisbewertung zeitnah stattfinden können. rnrnAus diesem Grund ist eines der beiden Hauptziele dieser Arbeit die Beschleunigung des Kalibrierungsalgorithmus. Zunächst ist es wünschenswert Methoden der differenzierbaren Optimierung zur Lösung des Kalibrierungsproblems zu verwenden, da diese sich durch hohe Konvergenzgeschwindigkeiten auszeichnen, vor allem im Vergleich zu ableitungsfreien Verfahren. Es wird sich aber zeigen, dass die Zielfunktion im Allgemeinen nicht differenzierbar ist, so dass diese durch zweimal stetig differenzierbare Polynome angenähert werden muss. Des Weiteren wird sich herausstellen, dass die Berechnung des Gradienten der Zielfunktion, der für den Optimierungsalgorithmus erforderlich ist, effizient über eine adjungierte Gleichung berechnet werden kann. Vor allem im Vergleich zum häufig verwendeten Finiten Differenzen Verfahren führt die Adjungierte zu einer deutliche Effizienzsteigerung. Darüberhinaus werden verschiedene andere Methoden entwickelt, beschrieben und angewendet, wie zum Beispiel ein Multi Layer Verfahren. Die Idee dabei ist die Approximation der Zielfunktion zu Beginn der Optimierung mit sehr grober Genauigkeit, d.h. mit wenigen Monte Carlo Simulationen, wenigen Zeitschritten für die Diskretisierung der stochastischen Differentialgleichung und einem großen Glättungsparameter, und diese Genauigkeit während der Optimierung sukzessive zu erhöhen. Vor allem in Fällen, in denen der gewählte Startwert nicht bereits nahe beim Optimum liegt, erweist sich diese Technik als sehr hilfreich. Des Weiteren führt das Speichern möglichst vieler Zufallszahlen für die Realisierung der Brownschen Zuwächse im Arbeitsspeicher sowie die Parallelisierung der Monte Carlo Simulation zu einer deutlichen Beschleunigung des Algorithmus. So kann z.B. eine Kalibrierung mit 100.000 Simulationen, einer Schrittweite von 0,005 und einem Glättungsparamter von 0,0031 durch eine Kombination der vorgestellten Techniken von zunächst 1,5 Stunden auf 6 Minuten reduziert werden. Für den Fall, dass die zu bestimmenden Parameter stückweise zeitabhängig auf 10 Zeitintervallen gewählt werden, kann sogar eine Reduktion von 5,5 Stunden auf lediglich 10 Minuten erreicht werden.rnrnDes Weiteren widmet sich diese Arbeit einer zweiten Fragestellung. Wie oben beschrieben, werden die Optionspreise mit Hilfe der Monte Carlo Simulation, der Diskretisierung der zugrundeliegenden stochastischen Differentialgleichung und der Ausglättung von Nichtdifferenzierbarkeitsstellen approximiert. Daraus resultieren folglich drei Fehlerquellen: der Monte Carlo, der Diskretisierungs- und der Glättungsfehler. Obwohl eine Lösung des approximierenden Problems intuitiv auch eine Lösung des eigentlichen Problems annähert, ist dies im Allgemeinen keineswegs der Fall. Ziel ist es also, zu zeigen, dass eine Folge von kritischen Punkten erster Ordnung, erzeugt durch Lösen des Optimierungsproblems mit zunehmender Anzahl von Monte Carlo Simulationen sowie Diskretisierungsschritten und einem abnehmenden Glättungsparameter gegen einen kritischen Punkt erster Ordnung des eigentlichen Problems konvergiert. Dies kann erwartungsgemäß nur unter bestimmten Voraussetzungen gezeigt werden, im konkreten Fall z.B. unter der Bedingung, dass die Koeffizienten der Differentialgleichung Lipschitz stetig sind.

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Author: Christoph Käbe urn:nbn:de:hbz:385-5759 Ekkehard Sachs Doctoral Thesis English 2010/06/16 Universität Trier Universität Trier, Fachbereich 4 2010/05/12 2010/06/16 Stochastische DifferentialgleichungenAdjoint Equation; Convergence; Monte Carlo Simulation; Nonlinear Optimization; Stochastic Differential Equation Adjungierte Differentialgleichung; Konvergenztheorie; Monte-Carlo-Simulation; Nichtlineare Optimierung Fachbereich 4 / Mathematik 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

\$Rev: 13581 \$