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## The harmonic Faber operator

• P. K. Suetin points out in the beginning of his monograph "Faber Polynomials and Faber Series" that Faber polynomials play an important role in modern approximation theory of a complex variable as they are used in representing analytic functions in simply connected domains, and many theorems on approximation of analytic functions are proved with their help [50]. In 1903, the Faber polynomials were firstly discovered by G. Faber. It was Faber's aim to find a generalisation of Taylor series of holomorphic functions in the open unit disc D in the following way. As any holomorphic function in D has a Taylor series representation f(z)=\sum_{\nu=0}^{\infty}a_{\nu}z^{\nu} (z\in\D) converging locally uniformly inside D, for a simply connected domain G, Faber wanted to determine a system of polynomials (Q_n) such that each function f being holomorphic in G can be expanded into a series f=\sum_{\nu=0}^{\infty}b_{\nu}Q_{\nu} converging locally uniformly inside G. Having this goal in mind, Faber considered simply connected domains bounded by an analytic Jordan curve. He constructed a system of polynomials (F_n) with this property. These polynomials F_n were named after him as Faber polynomials. In the preface of [50], a detailed summary of results concerning Faber polynomials and results obtained by the aid of them is given. An important application of Faber polynomials is e.g. the transfer of known assertions concerning polynomial approximation of functions belonging to the disc algebra to results of the approximation of functions being continuous on a compact continuum K which contains at least two points and has a connected complement and being holomorphic in the interior of K. In this field, the Faber operator denoted by T turns out to be a powerful tool (for an introduction, see e.g. D. Gaier's monograph). It assigns a polynomial of degree at most n given in the monomial basis \sum_{\nu=0}^{n}a_{\nu}z^{\nu} with a polynomial of degree at most n given in the basis of Faber polynomials \sum_{\nu=0}^{n}a_{\nu}F_{\nu}. If the Faber operator is continuous with respect to the uniform norms, it has a unique continuous extension to an operator mapping the disc algebra onto the space of functions being continuous on the whole compact continuum and holomorphic in its interior. For all f being element of the disc algebra and all polynomials P, via the obvious estimate for the uniform norms ||T(f)-T(P)||<= ||T|| ||f-P||, it can be seen that the original task of approximating F=T(f) by polynomials is reduced to the polynomial approximation of the function f. Therefore, the question arises under which conditions the Faber operator is continuous and surjective. A fundamental result in this regard was established by J. M. Anderson and J. Clunie who showed that if the compact continuum is bounded by a rectifiable Jordan curve with bounded boundary rotation and free from cusps, then the Faber operator with respect to the uniform norms is a topological isomorphism. Now, let f be a harmonic function in D. Similar as above, we find that f has a uniquely determined representation f=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}a_{\nu}p_{\nu} converging locally uniformly inside D where p_{n}(z)=z^{n} for n\in\N_{0} and p_{-n}(z)=\overline{z}^{n} for n\in\N}. One may ask whether there is an analogue for harmonic functions on simply connected domains G. Indeed, for a domain G bounded by an analytic Jordan curve, the conjecture that each function f being harmonic in G has a uniquely determined representation f=\sum_{\nu= \infty}^{\infty}b_{\nu}F_{\nu} where F_{-n}(z)=\overline{F_{n}(z\)} for n\inN, converging locally uniformly inside G, holds true. Let now K be a compact continuum containing at least two points and having a connected complement. A main component of this thesis will be the examination of the harmonic Faber operator mapping a harmonic polynomial given in the basis of the harmonic monomials \sum_{\nu=-n}^{n}a_{\nu}p_{\nu} to a harmonic polynomial given as \sum_{\nu=-n}^{n}a_{\nu}F_{\nu}. If this operator, which is based on an idea of J. Müller, is continuous with respect to the uniform norms, it has a unique continuous extension to an operator mapping the functions being continuous on \partial\D onto the continuous functions on K being harmonic in the interior of K. Harmonic Faber polynomials and the harmonic Faber operator will be the objects accompanying us throughout our whole discussion. After having given an overview about notations and certain tools we will use in our consideration in the first chapter, we begin our studies with an introduction to the Faber operator and the harmonic Faber operator. We start modestly and consider domains bounded by an analytic Jordan curve. In Section 2, as a first result, we will show that, for such a domain G, the harmonic Faber operator has a unique continuous extension to an operator mapping the space of the harmonic functions in D onto the space of the harmonic functions in G, and moreover, the harmonic Faber operator is an isomorphism with respect to the topologies of locally uniform convergence. In the further sections of this chapter, we illumine the behaviour of the (harmonic) Faber operator on certain function spaces. In the third chapter, we leave the situation of compact continua bounded by an analytic Jordan curve. Instead we consider closures of domains bounded by Jordan curves having a Dini continuous curvature. With the aid of the concept of compact operators and the Fredholm alternative, we are able to show that the harmonic Faber operator is a topological isomorphism. Since, in particular, the main result of the third chapter holds true for closures K of domains bounded by analytic Jordan curves, we can make use of it to obtain new results concerning the approximation of functions being continuous on K and harmonic in the interior of K by harmonic polynomials. To do so, we develop techniques applied by L. Frerick and J. Müller in [11] and adjust them to our setting. So, we can transfer results about the classic Faber operator to the harmonic Faber operator. In the last chapter, we will use the theory of harmonic Faber polynomials to solve certain Dirichlet problems in the complex plane. We pursue two different approaches: First, with a similar philosophy as in [50], we develop a procedure to compute the coefficients of a series \sum_{\nu=-\infty}^{\infty}c_{\nu}F_{\nu} converging uniformly to the solution of a given Dirichlet problem. Later, we will point out how semi-infinite programming with harmonic Faber polynomials as ansatz functions can be used to get an approximate solution of a given Dirichlet problem. We cover both approaches first from a theoretical point of view before we have a focus on the numerical implementation of concrete examples. As application of the numerical computations, we considerably obtain visualisations of the concerned Dirichlet problems rounding out our discussion about the harmonic Faber polynomials and the harmonic Faber operator.
• Bekanntlich hat jede in der offenen Einheitskreisscheibe D holomorphe Funktion f eine Taylorreihenentwicklung f(z)=\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{f^{(\nu)}(0)}{\nu!}z^{\nu} (z\in\D), die in D lokal gleichmäßig konvergiert. G. Faber beschäftigte sich in seiner Dissertation aus dem Jahre 1903 mit folgender Fragestellung: Finde für ein einfach zusammenhängendes Gebiet G eine Folge von Polynomen (Q_n) so, dass jede in G holomorphe Funktion f eine Entwicklung f=\sum_{\nu=0}^{\infty}b_{\nu}Q_{\nu} mit lokal gleichmäßiger Konvergenz in G besitzt. Für ein von einer analytischen Jordankurve berandetes Gebiet G konstruierte Faber eine Folge von Polynomen (F_n) mit dieser Eigenschaft, die anschließend nach ihm als Faber-Polynome bezeichnet wurden und eine wichtige Rolle in der Approximationstheorie spielten, wie es P. K. Suetin in seiner Monographie "Faber Polynomials and Faber Series" ausdrückt. Es sei K ein kompaktes Kontinuum mit mehr als einem Element. Mithilfe der Faber-Polynome ist etwa die Übertragung von Aussagen über die polynomielle Approximation von Funktionen der Diskalgebra auf die polynomielle Approximation von Funktionen, die stetig auf K und holomorph im Inneren von K sind, möglich. Hierbei stellt der Faber-Operator T, der einem Polynom in Monombasis \sum_{\nu=0}^{n}a_{\nu}z^{\nu} das Polynom \sum_{\nu=0}^{n}a_{\nu}F_{\nu} zuordnet, eine wichtiges Werkzeug dar. Ist T stetig bezüglich der Supremumsnormen, so besitzt T eine stetige Fortsetzung zu einem Operator, der von der Diskalgebra in den Raum der Funktionen abbildet, die auf K stetig und im Inneren von K holomorph sind. Wenn f ein Element der Diskalgebra und P ein Polynom ist, dann gilt folgende Ungleichung bezüglich der Supremumsnormen: ||T(f)-T(P)||<= ||T|| ||f-P||. Aufgrund dieser Abschätzung lässt sich erkennen, dass die Aufgabe, F=T(f) durch Polynome zu approximieren, sich auf die polynomielle Approximation von f aus der Diskalgebra reduziert. Dieser Sachverhalt erklärt, warum man an Bedingungen interessiert ist, die die Stetigkeit und Surjektivität von T garantieren. Es sei etwa auf die Arbeit von J. M. Anderson und J. Clunie hingewiesen, die in [2] zeigen konnten, dass T ein topologischer Isomorphismus ist, wenn der Rand von K eine rektifizierbare Jordankurve mit beschränkter Randrotation ist, die keine Außenkuspen besitzt. In der vorliegenden Arbeit soll das Konzept der Faber-Polynome und des Faber-Operators dahingehend erweitert werden, dass anstelle von algebraischen Polynomen und holomorphen Funktionen nun harmonische Polynome und harmonische Funktionen betrachtet werden. Analog zur Eingangsüberlegung weiß man, dass jede in D harmonische Funktion f sich als in D lokal gleichmäßig konvergente Reihe \sum_{\nu=-\infty}^{\infty}a_{\nu}p_{\nu} schreiben lässt, wobei p_{\nu (z)=z^{\nu} für \nu\in\N_{0} und p_{-\nu}(z)=\overline{z}^{\nu} für \nu\in\N sei. Als erstes Resultat der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, dass jede Funktion f, die harmonisch in einem Jordangebiet G ist, dessen Rand eine analytische Jordankurve ist, eine eindeutige Darstellung f=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}b_{\nu}F_{\nu} mit F_{-\nu}(z)=\overline{F_{\nu}(z)} für \nu\in\N und lokal gleichmäßiger Konvergenz in G besitzt. Es sei wieder K ein kompaktes Kontinuum mit mehr als einem Element. Mit der gleichen Philosophie wie oben, kann man einen harmonischen Faber-Operator T definieren, der \sum_{\nu=-\infty}^{\infty}a_{\nu}p_{\nu} auf \sum_{\nu=\infty}^{\infty}a_{\nu}F_{\nu} abbildet und sich im Falle der Stetigkeit bezüglich der Supremumsnormen zu einem stetigen Operator fortsetzen lässt, der den Raum der stetigen Funktionen auf \overline{\D}, die in D harmonisch sind, auf den Raum der stetigen Funktionen auf K, die im Inneren von K harmonisch sind, abbildet. Dieser harmonische Faber-Operator, der auf eine Überlegung von J. Müller zurückgeht (vgl. [32]), wird ein wesentlicher Untersuchungsgegenstand in der gesamten Arbeit sein. Nachdem im ersten Kapitel eine Übersicht über grundlegende Bezeichnungen und Definitionen gegeben worden ist, werden im zweiten Kapitel im ersten Abschnitt beschriebene (harmonische) Faber-Polynome und (harmonischer) Faber-Operator eingeführt und erste Ergebnisse etabliert. In den weiteren Abschnitten des zweiten Kapitels werden Eigenschaften des harmonischen Faber-Operators auf gewissen Funktionenräumen beleuchtet. Als zentrales Ergebnis im dritten Kapitel wird unter Verwendung des Konzepts kompakter Operatoren und der Fredholmschen Alternative nachgewiesen, dass der harmonische Faber-Operator für Kompakta, die Abschluss eines Jordangebiets mit Randkurve von Dini-stetiger Krümmung sind, ein topologischer Isomorphismus ist. Dieses Resultat (angewandt auf den Spezialfall, dass das Kompaktum K eine analytische Jordankurve als Rand hat) wird im vierten Kapitel genutzt, um neue Ergebnisse bezüglich der Approximation von Funktionen aus dem Raum der auf K stetigen und im Inneren von K harmonischen Funktionen zu gewinnen. Dabei werden Methoden angewandt und auf die neue Situation übertragen, die L. Frerick und J. Müller in [11] für den klassischen Faber-Operator entwickelt haben. Im letzten Kapitel werden harmonische Faber-Polynome genutzt, um gewisse Dirichlet-Probleme in der komplexen Ebene approximativ zu lösen. Hierbei werden zwei unterschiedliche Ansätze vorgestellt. Zunächst wird ein Ansatz von Suetin aus [50] aufgegriffen, der (unter gewissen Voraussetzungen an das betrachtete Dirichlet-Problem) eine Reihe $\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}c_{\nu}F_{\nu}$ liefert, die gleichmäßig gegen die Lösung des gegebenen Dirichlet-Problems konvergiert. Anschließend wird dargestellt, wie semi-infinite Probleme genutzt werden können, um approximative Lösungen von gegebenen Dirichlet Problemen zu erhalten. Beide Ansätze werden zunächst in der Theorie erläutert, bevor für konkrete Probleme numerische Auswertungen und Berechnungen vorgenommen werden. Die erhaltenen Visualisierungen der Lösungen runden die vorliegende Arbeit ab.

$Rev: 13581$