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Adaptive Trust-Region POD Methods and their Application in Finance

Adaptive Trust-Region POD Methods and their Application in Finance

  • Bei der Preisberechnung von Finanzderivaten bieten sogenannte Jump-diffusion-Modelle mit lokaler Volatilität viele Vorteile. Aus mathematischer Sicht jedoch sind sie sehr aufwendig, da die zugehörigen Modellpreise mittels einer partiellen Integro-Differentialgleichung (PIDG) berechnet werden. Wir beschäftigen uns mit der Kalibrierung der Parameter eines solchen Modells. In einem kleinste-Quadrate-Ansatz werden hierzu Marktpreise von europäischen Standardoptionen mit den Modellpreisen verglichen, was zu einem Problem optimaler Steuerung führt. Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung der PIDG aus theoretischer und vor allem aus numerischer Sicht. Die durch ein implizites Zeitdiskretisierungsverfahren entstandenen, dicht besetzten Gleichungssysteme werden mit einem präkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, was zu beinahe linearem Aufwand bezüglich Orts- und Zeitdiskretisierung führt. Trotz dieser effizienten Lösungsmethode sind Funktionsauswertungen der kleinste-Quadrate-Zielfunktion immer noch teuer, so dass im Hauptteil der Arbeit Modelle reduzierter Ordnung basierend auf Proper Orthogonal Decomposition Anwendung finden. Lokale a priori Fehlerabschätzungen für die reduzierte Differentialgleichung sowie für die reduzierte Zielfunktion, kombiniert mit einem Trust-Region-Ansatz zur Globalisierung liefern einen effizienten Algorithmus, der die Rechenzeit deutlich verkürzt. Das Hauptresultat der Arbeit ist ein Konvergenzbeweis für diesen Algorithmus für eine weite Klasse von Optimierungsproblemen, in die auch das betrachtete Kalibrierungsproblem fällt.
  • So-called jump-diffusion models with local volatility provide many advantages concerning the pricing of financial derivatives. However, from a mathematical point of view they are quite complex since the corresponding model prices have to be calculated via a partial integro-differential equation (PIDE). Here, we are dealing with the calibration of the parameters of such a model. We compare market prices of standard European options with the model prices in a least-squares approach yielding an optimal control problem. A substantial part of this thesis is the solution of the PIDE where the focus is on the numerical part. The dense linear systems of equations arising from an implicit time discretization scheme are solved with a preconditioned GMRES method leading to an almost linear complexity regarding time and space discretization. Despite this efficient solution, evaluations of the least-squares objective function are still expensive such that in the main part of this thesis reduced order models based on proper orthogonal decomposition (POD) are used. Local a priori error estimates for the reduced differential equations as well as for the corresponding reduced objective function combined with a globalizing trust-region framework yield an efficient algorithm that clearly reduces the computing time. The main result of this thesis is a convergence proof for this algorithm for a wide class of optimization problems to which the considered calibration problems belong to as well.

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Metadaten
Author:Matthias Schu
URN:urn:nbn:de:hbz:385-7999
Title Additional (German):Adaptive Trust-Region POD Algorithmen und deren Anwendung im Finanzbereich
Advisor:Ekkehard W. Sachs
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2013/03/27
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2012/11/30
Release Date:2013/03/27
Tag:Adjoint; Error Estimates; Proper Orthogonal Decomposition; Trust Region
GND Keyword:Fehlerabschätzung; POD-Methode; Trust-Region-Algorithmus
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:45-XX INTEGRAL EQUATIONS / 45Kxx Integro-partial differential equations [See also 34K30, 35R09, 35R10, 47G20] / 45K05 Integro-partial differential equations [See also 34K30, 35R09, 35R10, 47G20]
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Kxx Mathematical programming, optimization and variational techniques / 65K10 Optimization and variational techniques [See also 49Mxx, 93B40]

$Rev: 13581 $