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Geometry of optimal codebooks and constructive quantization

Die Geometrie optimaler Codebücher und konstruktive Quantisierung

  • In this thesis, we mainly investigate geometric properties of optimal codebooks for random elements $X$ in a seperable Banach space $E$. Here, for a natural number $ N $ and a random element $X$ , an $N$-optimal codebook is an $ N $-subset in the underlying Banach space $E$ which gives a best approximation to $ X $ in an average sense. We focus on two types of geometric properties: The global growth behaviour (growing in $N$) for a sequence of $N$-optimal codebooks is described by the maximal (quantization) radius and a so-called quantization ball. For many distributions, such as central-symmetric distributions on $R^d$ as well as Gaussian distributions on general Banach spaces, we are able to estimate the asymptotics of the quantization radius as well as the quantization ball. Furthermore, we investigate local properties of optimal codebooks, in particular the local quantization error and the weights of the Voronoi cells induced by an optimal codebook. In the finite-dimensional setting, we are able to proof for many interesting distributions classical conjectures on the asymptotic behaviour of those properties. Finally, we propose a method to construct sequences of asymptotically optimal codebooks for random elements in infinite dimensional Banach spaces and apply this method to construct codebooks for stochastic processes, such as fractional Brownian Motions.
  • Diese Arbeit widmet sich hauptsächlich der Analyse geometrischer Eigenschaften optimaler Codebücher für Zufallselemente $X$ in einem seperablen Banachraum $E$. Dabei ist für eine natürliche Zahl $ N $ und ein Zufallselement $X$ ein $N$-optimales Codebuch eine $ N $-Teilamenge des unterliegenden Banachraumes $E$, welches eine Bestapproximation zu $ X $ darstellt. Wir konzentrieren uns und auf zwei Typen geometrischer Eigenschaften: Das globale Wachstumsverhalten (wachsend in $N$) für eine Folge $N$-optimaler Codebücher wird durch den maximalen (Quantisierung-) Radius und sogenannte Quantisierungskugeln beschrieben. Für viele Verteilungen, wie etwa zentralsymmetrische Verteilungen im $R^d$ als auch Gaussverteilungen in allgemeinen Banachräumen, konnten wir die Asymptotik des Quantisierungsradius sowie die Quantisierungkugel berechnen. Des Weiteren untersuchen wir lokale Eigenschaften optimaler Codebücher, im Speziellen den lokalen Quantisierungsfehler sowie die Gewichte der durch ein optimales Codebuch induzierten Voronoizellen. Für viele interessante Verteilungen im $R^d$ konnten wir klassische Vermutungen über das Wachstumsverhalten dieser Charakteristika beweisen. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir eine Methode zu Konstruktion von Folgen asymptotisch optimaler Codebücher für Zufallsvariablen in unendlichdimensionalen Banachräumen vor und wenden diese Methode zur Konstruktion von Codebüchern für Stochastischer Prozesse, wie etwa für die Fraktionelle Brownsche Bewegung, an.

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Metadaten
Author:Stefan Junglen
URN:urn:nbn:de:hbz:385-7738
Title Additional (English):Geometry of optimal codebooks and constructive quantization
Advisor:Harald Luschgy
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2012/08/14
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2012/06/27
Release Date:2012/08/14
Tag:Quantisierungkugel; Quantisierungsradius; asymptotisch optimale Codebücher; lokaler Quantisierungsfehler; optimale Quantisierung
asymptotically optimal codebooks; local quantization error; optimal quantization; quantization ball; quantization radius
GND Keyword:Codebuch; Quantisierung
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $