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Splitting theory for PLH spaces

Splitting Theorie für PLH-Räume

  • In splitting theory of locally convex spaces we investigate evaluable characterizations of the pairs (E, X) of locally convex spaces such that each exact sequence 0 −> X -> G -> E -> 0 of locally convex spaces splits, i.e. either X -> G has a continuous linear left inverse or G -> E has a continuous linear right inverse. In the thesis at hand we deal with splitting of short exact sequences of so-called PLH spaces, which are defined as projective limits of strongly reduced spectra of strong duals of Fréchet-Hilbert spaces. This class of locally convex spaces contains most of the spaces of interest for application in the theory of partial differential operators as the space of Schwartz distributions , the space of real analytic functions and various spaces of ultradifferentiable functions and ultradistributions. It also contains non-Schwartz spaces as B(2,k,loc)(Ω) and spaces of smooth and square integrable functions that are not covered by the current theory for PLS spaces. We prove a complete characterizations of the above problem in the case of X being a PLH space and E either being a Fréchet-Hilbert space or a strong dual of one by conditions of type (T ). To this end, we establish the full homological toolbox of Yoneda Ext functors in exact categories for the category of PLH spaces including the long exact sequence, which in particular involves a thorough discussion of the proper concept of exactness. Furthermore, we exhibit the connection to the parameter dependence problem via the Hilbert tensor product for hilbertizable locally convex spaces. We show that the Hilbert tensor product of two PLH spaces is again a PLH space which in particular proves the positive answer to Grothendieck- problème des topologies. In addition to that we give a complete characterization of the vanishing of the first derivative of the functor proj for tensorized PLH spectra if one of the PLH spaces E and X meets some nuclearity assumptions. To apply our results to concrete cases we establish sufficient conditions of (DN)-(Ω) type and apply them to the parameter dependence problem for partial differential operators with constant coefficients on B(2,k,loc)(Ω) spaces as well as to the smooth and square integrable parameter dependence problem. Concluding we give a complete solution of all the problems under consideration for PLH spaces of Köthe type.
  • Motiviert durch die Frage nach der Existenz von linearen und stetigen Lösungsoperatoren zu partiellen Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, beschäftigt sich die Splitting Theorie lokalkonvexer Räume mit der Charakterisierung der Raumpaare (E,X) lokalkonvexer Räume, sodass jede kurze exakte Sequenz 0 -> X -> G -> E -> 0 lokalkonvexer Räume zerfällt, d.h. entweder X -> G eine lineare und stetige Linksinverse besitzt oder, äquivalent, die Abbildung G -> E eine lineare und stetige Rechtsinverse. In der vorliegenden Arbeit wird diese Fragestellung für die Kategorie sogenannter PLH-Räume untersucht. Alle für die Anwendung in der Lösungstheorie von partiellen Differentialgleichungen nach Hörmander relevanten Räume der Funktionalanalysis, wie der Raum der Schwartz-chen Distributionen, der Raum der reell analytischen Funktionen und viele Räume ultradifferenzierbarer Funktionen und Ultradistributionen sind dieser Kategorie zuzuordnen; erlauben also eine Darstellung als projektiver Limes eines stark reduzierten Spektrums von starken Dualen von Fréchet-Hilbert-Räumen. Außerdem enthält diese Kategorie auch viele Beispiele von Funktionen- und Distibutionenräumen, die nicht Schwartz sind, also nicht von der aktuellen Theorie für PLS-Räume erfasst werden, wie zum Beispiel die B(2,k,loc)(Ω)-Räume und Räume glatter und quadratintegrierbarer Funktionen. Wir geben eine vollständige Charakterisierung mittels einer Bedingung vom Typ (T) für das Zerfallen aller kuerzer exakter Sequenzen 0 -> X -> G -> E -> 0 in PLH für Fréchet-Hilbert oder LH Räume E und PLH Räume X. Dazu werden alle homologischen Methoden, insbesondere die lange exakte Kohomologie-Sequenz für Yoneda-Ext Funktoren in exakten Kategorien in Analogie zum PLS-Raum Fall bereitgestellt. Insbesondere wird die Wahl der richtigen Exaktheitstruktur in PLH diskutiert. Über das Hilbert Tensor Produkt für hilbertisierbare lokalkonvexe Räume stellen wir den Zusammenhang zu dem Problem der Parameterabhängigkeit von Lösungen her und weisen nach, dass das Hilbert Tensor Produkt von zwei PLH-Räumen wieder ein PLH-Raum ist. Dazu lösen wir insbesondere Grothendieck- problème des topologies positiv für Fréchet-Hilbert-Räume und das Hilbert Tensor Produkt. Schließlich geben wir eine vollständige Charakterisierung des Verschwindens der ersten Ableitung des Funktors proj für tensorierte PLH-Spektren wieder mittels einer Bedingung vom Typ (T) im Falle, dass einer der beteiligten PLH-Räume gewissen Nuklearitätsbedingungen genügt. Um die charakterisierenden Bedingungen auf konkrete Fälle anwenden zu können, weisen wir hinreichende Bedingungen vom Typ (DN)-(Ω) für PLH-Räume nach und wenden diese an sowohl auf das Problem der Parameterabhängigkeit von Lösungen für partielle Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten in B(2,k,loc)(Ω) Räumen, als auch auf das Problem der glatten und differenzierbaren Parameterabhängigkeit. Schließlich geben wir eine vollständige Charakterisierung aller behandelten Fragestellungen für das Beispiel der Köthe PLH-Räume.

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Metadaten
Author:Bernhard Dierolf
URN:urn:nbn:de:hbz:385-8693
Advisor:Leonhard Frerick
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2014/06/12
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2014/05/23
Release Date:2014/06/12
Tag:Parameterabhängigkeit; homologische Methoden
functional analysis; homological methods; parameter dependence; splitting
GND Keyword:Funktionalanalysis; Splitting
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Axx Topological linear spaces and related structures (For function spaces, see 46Exx) / 46A13 Spaces defined by inductive or projective limits (LB, LF, etc.) [See also 46M40]
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Axx Topological linear spaces and related structures (For function spaces, see 46Exx) / 46A32 Spaces of linear operators; topological tensor products; approximation properties [See also 46B28, 46M05, 47L05, 47L20]
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Axx Topological linear spaces and related structures (For function spaces, see 46Exx) / 46A63 Topological invariants ((DN), ( ), etc.)
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Mxx Methods of category theory in functional analysis [See also 18-XX] / 46M18 Homological methods (exact sequences, right inverses, lifting, etc.)
46-XX FUNCTIONAL ANALYSIS (For manifolds modeled on topological linear spaces, see 57Nxx, 58Bxx) / 46Mxx Methods of category theory in functional analysis [See also 18-XX] / 46M40 Inductive and projective limits [See also 46A13]

$Rev: 13581 $