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Hypercyclic, mixing, and chaotic C0-semigroups

Hyperzyklische, mischende und chaotische C0-Halbgruppen

  • The subject of this thesis is hypercyclic, mixing, and chaotic C0-semigroups on Banach spaces. After introducing the relevant notions and giving some examples the so called hypercyclicity criterion and its relation with weak mixing is treated. Some new equivalent formulations of the criterion are given which are used to derive a very short proof of the well-known fact that a C0-semigroup is weakly mixing if and only if each of its operators is. Moreover, it is proved that under some "regularity conditions" each hypercyclic C0-semigroup is weakly mixing. Furthermore, it is shown that for a hypercyclic C0-semigroup there is always a dense set of hypercyclic vectors having infinitely differentiable trajectories. Chaotic C0-semigroups are also considered. It is proved that they are always weakly mixing and that in certain cases chaoticity is already implied by the existence of a single periodic point. Moreover, it is shown that strongly elliptic differential operators on bounded C^1-domains never generate chaotic C0-semigroups. A thorough investigation of transitivity, weak mixing, and mixing of weighted compositioin operators follows and complete characterisations of these properties are derived. These results are then used to completely characterise hypercyclicity, weak mixing, and mixing of C0-semigroups generated by first order partial differential operators. Moreover, a characterisation of chaos for these C0-semigroups is attained. All these results are achieved on spaces of p-integrable functions as well as on spaces of continuous functions and illustrated by various concrete examples.
  • Gegenstand der Arbeit sind hyperzyklische, mischende und chaotische C0-Halbgruppen auf Banachräumen. Nachdem die Begriffe erläutert und einige Beispiele gegeben werden, wird das so genannte Hyperzyklizitätkriterium und sein Zusammenhang mit schwacher Mischung behandelt. Es werden einige neue äquivalente Formulierungen des Kriteriums präsentiert, mit deren Hilfe z.B. ein sehr kurzer Beweis des bekannten Resultats hergeleitet wird, dass eine C0-Halbgruppe genau dann schwach mischend ist, wenn dies auf jeden ihrer Operatoren zutrifft. Desweiteren wird gezeigt, dass unter gewissen "Regularitätsbedingungen" jede hyperzyklische C0-Halbgruppe schwach mischend ist. Daran anschließend wird bewiesen, dass es für eine hyperzyklische C0-Halbgruppe stets eine dichte Menge hyperzyklischer Vektoren gibt, deren Trajektorien unendlich oft differenzierbar sind. Weiter werden chaotische C0-Halbgruppen behandelt. In diesem Zusammenhang wird u.a. bewiesen, dass diese stets schwach mischend sind und dass in gewissen Fällen Chaos bereits dann vorliegt, wenn es einen einzigen periodische Punkt gibt. Weiter wird gezeigt, dass stark elliptische Differentialoperatoren auf beschränkten C^1-Gebieten niemals chaotische C0-Halbgruppen erzeugen. Daran anschließend werden Familien gewichteter Kompositionsoperatoren auf Transitivität, schwache Mischung und Mischung erforscht und diese Eigenschaften vollständig charakterisiert. Als Anwendung dieser Ergebnisse werden Hyperzyklizität, schache Mischung und Mischung für C0-Halbgruppen, die von partiellen Differentialoperatoren erster Ordnung erzeugt werden komplett charakterisiert. Desweiteren wird eine Charakterisierung angegeben, wann solche C0-Halbgruppen chaotisch sind. All diese Ergebnisse werden sowohl für Räume p-integrabler als auch für Räume stetiger Funktionen erzielt und anhand zahlreicher konkreter Anwendungsbeispiele illustriert.

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Metadaten
Author:Thomas Kalmes
URN:urn:nbn:de:hbz:385-3986
Advisor:Wolfgang Sendler
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2007/02/05
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2006/12/22
Release Date:2007/02/05
Tag:Hyperzyklizität; Mischung; Transitivität; partielle Differentialoperatoren erster Ordnung als Erzeuger von C0-Halbgruppen
Hypercyclicity; mixing; partial differential operators of first order as generators of C0-semigroups; transitivity
GND Keyword:Chaotisches System; Funktionalanalysis; Kompositionsoperator; Stark stetige Halbgruppe
Source:Ergodic Theory And Dynamical Systems , Proceedings Of The American Mathematical Society
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $