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Konstruktion universeller Funktionen mit zusätzlichen Eigenschaften

Construction of universal functions with additional properties

  • Eine ganze Funktion $\vp$ heißt T-universell bezüglich einer gegebenen Folge $b:=\{b_{n}\}_{n \in \N}$ komplexer Zahlen mit $b_{n} \to \infty$, falls eine geeignete Folge $\{\vp(z+b_{n_{k}})\}$ additiver Translationen von $\vp$ lokal gleichmäßig in $\C$ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert. Ferner nennen wir eine ganze Funktion $\vp$, für welche eine geeignete Folge $\{\vp^{(n_k)}\}$ ihrer Ableitungen lokal gleichmäßig in $\C$ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert, ableitungsuniversell. Die Existenz solcher Funktionen wurde von Birkhoff (1929) und MacLane (1952) bzw. Verallgemeinerungen ihrer Ergebnisse gesichert. In dieser Arbeit wird die Konstruktion solcher Funktionen, die zusätzlich auf jeder Geraden beschränkt sind oder Nullstellen an bestimmten vorgegebenen Punkten besitzen, studiert. Im Besonderen stellte sich hierbei heraus, dass die Menge aller bezüglich einer gegebenen Folge $b$ -- welche einer gewissen Bedingung genügt -- T-universellen Funktionen, die überdies auf jeder Geraden beschränkt sind, zwar dicht, aber nicht residual im Raum aller ganzen Funktionen versehen mit der lokal-gleichmäßigen Topologie ist. Ebenso überraschend ist die Konstruktion von T-universellen Funktionen, welche eine "regelmäßige Nullstellenasymptotik" besitzen.
  • An entire function $\vp$ is called T-universal with respect to a given sequence $b:=\{b_{n}\}_{n \in \N}$ of complex numbers with $b_{n} \to \infty$, if a suitable sequence $\{\vp(z+b_{n_{k}})\}$ of additive translates of $\vp$ converges to any preassigned entire function locally uniformly in $\C$. Moreover, if a suitable sequence $\{\vp^{(n_k)}\}$ of derivatives of $\vp$ converges to any preassigned entire function locally uniformly in $\C$, we call such a function universal under derivations. The existence of such universal functions is shown in theorems of Birkhoff (1929), MacLane (1952) and generalisations of them. In this thesis, we study the construction of such universal functions, which are in addition bounded on each line or have zeros at certain prescribed points. In particular, we show that the set of all the entire functions, that are bounded on each line and which are T-universal with respect to a given sequence $b$, where $b$ satisfies a certain condition, is a dense, but not a residual subset of all the entire functions endowed with the compact-open topology. The existence of T-universal functions, whose asymptotic distribution of zeros is regular in a sense, is also surprising.

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Metadaten
Author:Markus Nieß
URN:urn:nbn:de:hbz:385-3564
Advisor:Wolfgang Luh
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2006/03/10
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2006/02/21
Release Date:2006/03/10
Tag:Approximation im Komplexen; Birkhoff-Funktionen; Nullstellen; Randverhalten; Universalitäten
Birkhoff functions; approximation in the complex plane; boundary behavior; universalities; zeros
GND Keyword:Approximationstheorie; Funktionentheorie
Source:Archiv der Mathematik
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $