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Konstruktive und generische Gewinnung universeller Funktionen

Building universal functions constructively and generically

  • In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
  • In this PhD-thesis we prove the existence of universal functions with the constructive and the generic method. A universal function is a holomorphic function containing in a certain sense whole classes of functions. The constructive method comprises the explicit construction of a universal function via a limit process, e.g. as a polynomial series. With the generic method we first define the desired class of universal functions purely abstractly. Using Baireâ-€-™s density theorem it is proven, that this class of functions is not only non-empty, but even G_delta and dense in the considered space of functions. Both methods make use of Rungeâ-€-™s and Mergelyanâ-€-™s theorems on rational and polynomial approximation. Our main results are as follows: (1) We proved constructively the existence of universal Laurent series on multiply connected domains. Additionally, we showed, that the set of such universal Laurent series is dense in the space of all holomorphic functions on the considered domain. (2) The existence of universal Faber series on certain domains was proven constructively and generically. (3) On the one hand we showed constructively, that there exist so called T-universal entire functions with prescribed approximation curves. The approximation curves are described by a sufficiently versatile functional form. The set of these functions is G_delta and dense in the space of all entire functions. On the other hand we proved generically the existence of T-universal functions with prescribed approximation curves on a bounded domain. Also here the approximation curves are sufficiently general.

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Metadaten
Author:Daniel Mayenberger
URN:urn:nbn:de:hbz:385-3145
Advisor: Luh
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of completion:2005/06/15
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2005/04/01
Release Date:2005/06/15
Tag:Dichtesatz; Faberreihen; Laurentreihen; Universelle Funktionen; vorgegebene Approximationswege
Baire's theorem; Faber series; laurent series; prescribed approximation curves; universal functions
GND Keyword:Faberreihen; Laurentreihen; Universalität
Source:Izvestiya NAN Armenii, Matematika, 38, No. 4, 2003, 72-84
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik

$Rev: 13581 $