• search hit 1 of 1
Back to Result List

## Universality of composition operators with applications to complex dynamics

### Universalität von Kompositionsoperatoren mit Anwendungen in komplexer Dynamik

• In recent years, the study of dynamical systems has developed into a central research area in mathematics. Actually, in combination with keywords such as "chaos" or "butterfly effect", parts of this theory have been incorporated in other scientific fields, e.g. in physics, biology, meteorology and economics. In general, a discrete dynamical system is given by a set X and a self-map f of X. The set X can be interpreted as the state space of the system and the function f describes the temporal development of the system. If the system is in state x âˆˆ X at time zero, its state at time n âˆˆ N is denoted by f^n(x), where f^n stands for the n-th iterate of the map f. Typically, one is interested in the long-time behaviour of the dynamical system, i.e. in the behaviour of the sequence (f^n(x)) for an arbitrary initial state x âˆˆ X as the time n increases. On the one hand, it is possible that there exist certain states x âˆˆ X such that the system behaves stably, which means that f^n(x) approaches a state of equilibrium for nâ†’âˆž. On the other hand, it might be the case that the system runs unstably for some initial states x âˆˆ X so that the sequence (f^n(x)) somehow shows chaotic behaviour. In case of a non-linear entire function f, the complex plane always decomposes into two disjoint parts, the Fatou set F_f of f and the Julia set J_f of f. These two sets are defined in such a way that the sequence of iterates (f^n) behaves quite "wildly" or "chaotically" on J_f whereas, on the other hand, the behaviour of (f^n) on F_f is rather "nice" and well-understood. However, this nice behaviour of the iterates on the Fatou set can "change dramatically" if we compose the iterates from the left with just one other suitable holomorphic function, i.e. if we consider sequences of the form (gâˆ˜f^n) on D, where D is an open subset of F_f with f(D)âŠ‚ D and g is holomorphic on D. The general aim of this work is to study the long-time behaviour of such modified sequences. In particular, we will prove the existence of holomorphic functions g on D having the property that the behaviour of the sequence of compositions (gâˆ˜f^n) on the set D becomes quite similarly chaotic as the behaviour of the sequence (f^n) on the Julia set of f. With this approach, we immerse ourselves into the theory of universal families and hypercyclic operators, which itself has developed into an own branch of research. In general, for topological spaces X, Y and a family {T_i: i âˆˆ I} of continuous functions T_i:Xâ†’Y, an element x âˆˆ X is called universal for the family {T_i: i âˆˆ I} if the set {T_i(x): i âˆˆ I} is dense in Y. In case that X is a topological vector space and T is a continuous linear operator on X, a vector x âˆˆ X is called hypercyclic for T if it is universal for the family {T^n: n âˆˆ N}. Thus, roughly speaking, universality and hypercyclicity can be described via the following two aspects: There exists a single object which allows us, via simple analytical operations, to approximate every element of a whole class of objects. In the above situation, i.e. for a non-linear entire function f and an open subset D of F_f with f(D)âŠ‚ D, we endow the space H(D) of holomorphic functions on D with the topology of locally uniform convergence and we consider the map C_f:H(D)â†’H(D), C_f(g):=gâˆ˜f|_D, which is called the composition operator with symbol f. The transform C_f is a continuous linear operator on the Fréchet space H(D). In order to show that the above-mentioned "nice" behaviour of the sequence of iterates (f^n) on the set D âŠ‚ F_f can "change dramatically" if we compose the iterates from the left with another suitable holomorphic function, our aim consists in finding functions g âˆˆ H(D) which are hypercyclic for C_f. Indeed, for each hypercyclic function g for C_f, the set of compositions {gâˆ˜f^n|_D: n âˆˆ N} is dense in H(D) so that the sequence of compositions (gâˆ˜f^n|_D) is kind of "maximally divergent" " meaning that each function in H(D) can be approximated locally uniformly on D via subsequences of (gâˆ˜f^n|_D). This kind of behaviour stands in sharp contrast to the fact that the sequence of iterates (f^n) itself converges, behaves like a rotation or shows some "wandering behaviour" on each component of F_f. To put it in a nutshell, this work combines the theory of non-linear complex dynamics in the complex plane with the theory of dynamics of continuous linear operators on spaces of holomorphic functions. As far as the author knows, this approach has not been investigated before.
• In den letzten Jahren hat sich das Studium dynamischer Systeme zu einem zentralen Forschungsgebiet der Mathematik entwickelt. Unter Schlagwörtern wie "Chaos" oder "Schmetterlingseffekt" sind Teile dieser Theorie auch in andere Wissenschaften eingeflossen, z.B. in die Physik, Biologie, Meteorologie oder in die Wirtschaftswissenschaften. Im Allgemeinen ist ein dynamisches System durch eine Menge X und eine Selbstabbildung f von X gegeben. Dabei kann die Menge X als Zustandsraum des Systems interpretiert werden und die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des Systems. Falls das System zur Zeit Null im Zustand x âˆˆ X ist, so wird sein Zustand zur Zeit n âˆˆ N mit f^n(x) bezeichnet, wobei f^n für die n-te Iterierte der Abbildung f steht. Typischerweise ist man am Langzeitverhalten des dynamischen Systems interessiert, d.h. am Verhalten der Folge (f^n(x)) für beliebige Anfangszustände x âˆˆ X während die Zeit n voranschreitet. Einerseits ist es möglich, dass gewisse Zustände x âˆˆ X existieren derart, dass sich das System stabil verhält, was bedeutet, dass sich f^n(x) für nâ†’âˆž einem Gleichgewichtszustand nähert. Andererseits kann es der Fall sein, dass sich das System für gewisse Anfangszustände x âˆˆ X instabil verhält, sodass die Folge (f^n(x)) ein chaotisches Verhalten aufweist. Im Falle einer nicht-linearen ganzen Funktion f zerfällt die komplexe Ebene stets in zwei disjunkte Teile, die Fatou-Menge F_f von f und die Julia-Menge J_f von f. Diese beiden Mengen sind so definiert, dass sich die Folge der Iterierten (f^n) recht "wild" oder "chaotisch" auf J_f verhält, wohingegen das Verhalten von (f^n) auf F_f eher "schön" und wohlverstanden ist. Allerdings kann sich dieses gute Verhalten der Iterierten auf der Fatou-Menge "dramatisch verändern", wenn wir die Iterierten von links mit einer anderen geeigneten holomorphen Funktion verknüpfen, d.h. wenn wir Folgen der Form (gâˆ˜f^n) auf D betrachten, wobei D eine offene Teilmenge von F_f mit f(D) âŠ‚ D und g holomorph auf D ist. Allgemeines Ziel dieser Arbeit ist es, das Langzeitverhalten solcher modifizierter Folgen zu untersuchen. Insbesondere werden wir die Existenz von holomorphen Funktionen g auf D beweisen, welche die Eigenschaft haben, dass das Verhalten der Folge der Kompositionen (gâˆ˜f^n) auf der Menge D ähnlich chaotisch ist wie das Verhalten der Folge (f^n) auf der Julia-Menge von f. Mit diesem Ansatz tauchen wir in die Theorie der universellen Familien und hyperzyklischen Operatoren ein, welche sich ihrerseits zu einem eigenen Forschungszweig entwickelt hat. Für topologische Räume X, Y und eine Familie {T_i: i âˆˆ I} von stetigen Funktionen T_i:Xâ†’Y, nennen wir ein Element x âˆˆ X universell für die Familie {T_i: i âˆˆ I}, wenn die Menge{T_i(x): i âˆˆ I} dicht in Y ist. Falls X ein topologischer Vektorraum und T ein stetiger linearer Operator auf X ist, heißt ein Vektor x âˆˆ X hyperzyklisch für T, wenn er universell für die Familie {T^n: n âˆˆ N} ist. Grob gesprochen können die Begriffe Universalität und Hyperzyklizität also durch die folgenden zwei Aspekte beschrieben werden: Es existiert ein alleiniges Element, welches es uns erlaubt, alle Elemente einer ganzen Klasse von Objekten durch einfache analytische Operationen zu approximieren. In der obigen Situation, d.h. für eine nicht-lineare ganze Funktion f und eine offene Teilmenge D von F_f mit f(D)âŠ‚ D, statten wir den Raum H(D) der holomorphen Funktionen auf D mit der Topologie der lokal gleichmäßigen Konvergenz aus, und wir betrachten die Abbildung C_f:H(D)â†’H(D), C_f(g):=gâˆ˜f|_D, den Kompositionsoperator mit Symbol f. Die Transformation C_f ist ein stetiger linearer Operator auf dem Fréchet-Raum H(D). Um zu zeigen, dass sich das "schöne" Verhalten der Folge der Iterierten (f^n) auf der Menge D âŠ‚ F_f "dramatisch ändern" kann, wenn wir den Iterierten eine weitere geeignete holomorphe Funktion vorschalten, besteht unser Ziel darin, Funktionen g âˆˆ H(D) zu finden, welche hyperzyklisch für C_f sind. Tatsächlich ist für jede hyperzyklische Funktion g für C_f die Menge der Kompositionen {gâˆ˜f^n|_D: n âˆˆ N} dicht in H(D), sodass die Folge der Kompositionen (gâˆ˜f^n|_D) in gewisser Art und Weise "maximal divergent" ist " was bedeutet, dass jede Funktion in H(D) lokal gleichmäßig auf D durch Teilfolgen von (gâˆ˜f^n|_D) approximiert werden kann. Dieses Verhalten steht im krassen Widerspruch zu der Tatsache, dass die eigentliche Folge der Iterierten (f^n) auf jeder Komponente von F_f konvergiert, sich wie eine Drehung verhält oder ein "wanderndes Verhalten" aufweist. Kurz gesagt, verbindet diese Arbeit die Theorie der nicht-linearen komplexen Dynamik auf der komplexen Ebene mit der Theorie der Dynamik stetiger linearer Operatoren auf Räumen holomorpher Funktionen. Soweit dem Autor bekannt, wurde dieser Ansatz bisher noch nicht untersucht.