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Shape Optimization Constrained by Nonlocal Equations

  • Partial differential equations are not always suited to model all physical phenomena, especially, if long-range interactions are involved or if the actual solution might not satisfy the regularity requirements associated with the partial differential equation. One remedy to this problem are nonlocal operators, which typically consist of integrals that incorporate interactions between two separated points in space and the corresponding solutions to nonlocal equations have to satisfy less regularity conditions. In PDE-constrained shape optimization the goal is to minimize or maximize an objective functional that is dependent on the shape of a certain domain and on the solution to a partial differential equation, which is usually also influenced by the shape of this domain. Moreover, parameters associated with the nonlocal model are oftentimes domain dependent and thus it is a natural next step to now consider shape optimization problems that are governed by nonlocal equations. Therefore, an interface identification problem constrained by nonlocal equations is thoroughly investigated in this thesis. Here, we focus on rigorously developing the first and second shape derivative of the associated reduced functional. In addition, we study first- and second-order shape optimization algorithms in multiple numerical experiments. Moreover, we also propose Schwarz methods for nonlocal Dirichlet problems as well as regularized nonlocal Neumann problems. Particularly, we investigate the convergence of the multiplicative Schwarz approach and we conduct a number of numerical experiments, which illustrate various aspects of the Schwarz method applied to nonlocal equations. Since applying the finite element method to solve nonlocal problems numerically can be quite costly, Local-to-Nonlocal couplings emerged, which combine the accuracy of nonlocal models on one part of the domain with the fast computation of partial differential equations on the remaining area. Therefore, we also examine the interface identification problem governed by an energy-based Local-to-Nonlocal coupling, which can be numerically computed by making use of the Schwarz method. Here, we again present a formula for the shape derivative of the associated reduced functional and investigate a gradient based shape optimization method.
  • Partielle Differentialgleichungen sind nicht immer zur Modellierung mancher physikalischer Phänomene geeignet, insbesondere wenn Interaktionen über größere Distanzen involviert sind oder die eigentliche Lösung eventuell nicht die Regularitätsbedingungen der partiellen Differentialgleichung erfüllt. Die Antwort hierzu kann die Verwendung von nichtlokalen Operatoren sein, welche typischerweise aus Integraloperatoren bestehen, die die wechselseitige Beziehung zweier unterschiedlicher Punkte im Raum berücksichtigen. Zudem sind die Reguläritätsanforderungen an die Lösung eines dazugehörigen nichtlokalen Problems meist geringer. In der durch partielle Differentialgleichungen beschränkten Formoptimierung versucht man den Wert eines Zielfunktionals, welches abhängig ist von der Form eines bestimmten Gebietes und von der Lösung einer ebenfalls von der Form abhängigen partiellen Differentialgleichung, zu minimieren oder zu maximieren. Da zudem oft nichtlokale Probleme betrachtet werden, bei denen Parameter ebenfalls vom der Form des Gebietes beeinflusst werden, ist es ein logischer nächster Schritt, Formoptimierungsprobleme zu untersuchen, die abhängig von der Lösung eines solchen Form-abhängigen nichtlokalen Problems sind. Aus den angeführten Gründen wird in dieser Arbeit das Problem der Identifizierung eines Interfaces unter Berücksichtigung eines Interface-abhängigen nichtlokales Problems detailliert untersucht. Hierbei liegt der Fokus auf der präzisen Herleitung der ersten und zweiten Formableitung des reduzierten Zielfunktionals. Zusätzlich werden Algorithmen erster und zweiter Ordnung zur Formoptimierung in einer Vielzahl an numerischen Experimenten untersucht. Darüber hinaus werden Schwarz Methoden zum Lösen von nichtlokalen Dirichlet Problemen sowie regularisierter nichtlokaler Neumann Problemen eingeführt. Insbesondere wird die Konvergenz des multiplikativen Schwarz-Ansatzes bewiesen. Darüber hinaus werden verschiedene Eigenschaften der Schwarz Methode für nichtlokale Probleme in numerischen Untersuchungen veranschaulicht. Da die Anwendung der Methode der finiten Elemente zur numerischen Lösung von nichtlokalen Problemen rechenintensiv sein kann, sind Lokal-zu-Nichtlokalen Kopplungen entwickelt worden, die die Genauigkeit der nichtlokalen Modelle auf einem Teilbereich mit der schnellen Lösbarkeit der partiellen Differentialgleichung auf dem verbliebenen Teil des Gebietes verknüpfen. Aufgrund dessen wird das Problem der Interface-Identifizierung unter Berücksichtigung einer Energie-basierten Lokal-zu-Nichtlokaler Kopplung untersucht. Hierbei lässt sich die Lokal-zu-Nichtlokale Kopplung durch die Schwarz Methode numerisch lösen. Darüber hinaus wird ebenfalls eine Formel für die erste Formableitung des reduzierten Zielfunktionals vorgestellt und zudem wird ein Gradienten-basierter Formoptimierungsalgorithmus getestet.

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Metadaten
Author:Matthias Schuster
URN:urn:nbn:de:hbz:385-1-24347
Referee:Volker Schulz, Leonhard Frerick, Harbir Antil
Advisor:Volker Schulz
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2025/01/24
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2024/12/13
Release Date:2025/01/29
Tag:Averaged Adjoint Method; Domain Decomposition; Nonlocal Models; Schwarz Methods; Shape Optimization
Number of pages:XII, 176
First page:I
Last page:176
Institutes:Fachbereich 4
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):License LogoCC BY-SA: Creative-Commons-Lizenz 4.0 International

$Rev: 13581 $