Manuel Klar

• Differential equations yield solutions that necessarily contain a certain amount of regularity and are based on local interactions. There are various natural phenomena that are not well described by local models. An important class of models that describe long-range interactions are the so-called nonlocal models, which are the subject of this work. The nonlocal operators considered here are integral operators with a finite range of interaction and the resulting models can be applied to anomalous diffusion, mechanics and multiscale problems. While the range of applications is vast, the applicability of nonlocal models can face problems such as the high computational and algorithmic complexity of fundamental tasks. One of them is the assembly of finite element discretizations of truncated, nonlocal operators. The first contribution of this thesis is therefore an openly accessible, documented Python code which allows to compute finite element approximations for nonlocal convection-diffusion problems with truncated interaction horizon. Another difficulty in the solution of nonlocal problems is that the discrete systems may be ill-conditioned which complicates the application of iterative solvers. Thus, the second contribution of this work is the construction and study of a domain decomposition type solver that is inspired by substructuring methods for differential equations. The numerical results are based on the abstract framework of nonlocal subdivisions which is introduced here and which can serve as a guideline for general nonlocal domain decomposition methods.
• Differentialgleichungen liefern Lösungen, die notwendigerweise ein gewisses Maß an Regularität aufweisen und auf lokalen Interaktionen beruhen. Es gibt verschiedene natürliche Phänomene, die durch lokale Modelle nicht gut beschrieben werden. Eine wichtige Klasse von Modellen, die Wechselwirkungen zwischen Punkten mit räumlichem Abstand beschreiben, sind die sogenannten nichtlokalen Modelle, welche Gegenstand dieser Arbeit sind. Die nichtlokalen Operatoren, die wir hier betrachten, sind Integraloperatoren mit endlichem Interaktionsradius und die daraus resultierenden Modelle können zur Beschreibung anomaler Diffusion oder mechanischer Probleme eingesetzt werden. Während der Anwendungsbereich sehr groß ist, kann die Anwendbarkeit auf Hindernisse, wie die hohe rechnerische und algorithmische Komplexität grundlegender Aufgaben, stoßen. Eine davon ist der Aufbau von Finite-Elemente-Diskretisierungen der nichtlokalen Operatoren.Der erste Beitrag dieser Arbeit ist daher ein offen zugänglicher, dokumentierter Python-Code, der es erlaubt, Finite-Elemente-Approximationen für nichtlokale Konvektions-Diffusionsprobleme mit beschränktem Interaktionsradius zu berechnen. Eine weitere Schwierigkeit bei der Lösung nichtlokaler Probleme besteht darin, dass die diskreten Systeme schlecht konditioniert sein können, was die Anwendung iterativer Löser erschwert. Daher besteht der zweite Beitrag dieser Arbeit in der Konstruktion und Untersuchung eines Domain Decomposition Lösers, der von Methoden für Differentialgleichungen inspiriert ist.