Thomas Kalmes

• The main topic of this treatise is the solution of two problems from the general theory of linear partial differential equations with constant coefficients. While surjectivity criteria for linear partial differential operators in spaces of smooth functions over an open subset of euclidean space and distributions were proved by B. Malgrange and L. Hörmander in 1955, respectively 1962, concrete evaluation of these criteria is still a highly non-trivial task. In particular, it is well-known that surjectivity in the space of smooth functions over an open subset of euclidean space does not automatically imply surjectivity in the space of distributions. Though, examples for this fact all live in three or higher dimensions. In 1966, F. Trèves conjectured that in the two dimensional setting surjectivity of a linear partial differential operator on the smooth functions indeed implies surjectivity on the space of distributions. An affirmative solution to this problem is presented in this treatise. The second main result solves the so-called problem of (distributional) parameter dependence for solutions of linear partial differential equations with constant coefficients posed by J. Bonet and P. Domanski in 2006. It is shown that, in dimensions three or higher, this problem in general has a negative solution even for hypoelliptic operators. Moreover, it is proved that the two dimensional case is again an exception, because in this setting the problem of parameter dependence always has a positive solution.
• Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich hauptsächlich mit der Lösung zweier Probleme aus der Theorie der allgemeinen Lösbarkeit linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Während Charakterisierungen für die Surjektivität linearer partieller Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten sowohl auf dem Raum der glatten Funktionen auf einer offenen Teilmenge des euklidischen Raums als auch auf dem Raum der Distributionen schon 1955 bzw. 1962 von B. Malgrange bzw. L. Hörmander bereitgestellt wurden, ist die Auswertung dieser Bedingungen nach wie vor ein hochgradig nicht-triviales Problem. Insbesondere ist bekannt, dass Surjektivität auf den glatten Funktionen nicht notwendigerweise Surjektivität auf den Distributionen impliziert. Da die Beispiele hierfür allerdings allesamt in drei oder mehr Dimensionen liegen, vermutete F. Trèves 1966, dass im zweidimensionalen Fall Surjektivität eines linearen partiellen Differentialoperators auf den glatten Funktionen sehr wohl schon Surjektivität auf den Distributionen nach sich zieht. In der vorliegenden Arbeit ist es gelungen, diese Vermutung zu beweisen. Das zweite Hauptresultat der Arbeit löst das sog. Problem der (distributionellen) Parameterabhängigkeit von Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen mit konstanten Koeffzienten, das in voller Allgemeinheit 2006 von J. Bonet und P. Domanski formuliert wurde. Nicht nur wird gezeigt, dass dieses Problem in Dimension drei oder höher i.a. schon bei hypoelliptischen Differentialoperatoren eine negative Lösung besitzt, sondern auch, dass der zweidimensionale Fall auch hier wieder die Rolle einer positiven Ausnahme spielt.