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The goal of this thesis is to transfer the logarithmic barrier approach, which led to very efficient interior-point methods for convex optimization problems in recent years, to convex semi-infinite programming problems. Based on a reformulation of the constraints into a nondifferentiable form this can be directly done for convex semi- infinite programming problems with nonempty compact sets of optimal solutions. But, by means of an involved max-term this reformulation leads to nondifferentiable barrier problems which can be solved with an extension of a bundle method of Kiwiel. This extension allows to deal with inexact objective values and subgradient information which occur due to the inexact evaluation of the maxima. Nevertheless we are able to prove similar convergence results as for the logarithmic barrier approach in the finite optimization. In the further course of the thesis the logarithmic barrier approach is coupled with the proximal point regularization technique in order to solve ill-posed convex semi-infinite programming problems too. Moreover this coupled algorithm generates sequences converging to an optimal solution of the given semi-infinite problem whereas the pure logarithmic barrier only produces sequences whose accumulation points are such optimal solutions. If there are certain additional conditions fulfilled we are further able to prove convergence rate results up to linear convergence of the iterates. Finally, besides hints for the implementation of the methods we present numerous numerical results for model examples as well as applications in finance and digital filter design.
This work is concerned with the numerical solution of optimization problems that arise in the context of ground water modeling. Both ground water hydraulic and quality management problems are considered. The considered problems are discretized problems of optimal control that are governed by discretized partial differential equations. Aspects of special interest in this work are inaccurate function evaluations and the ensuing numerical treatment within an optimization algorithm. Methods for noisy functions are appropriate for the considered practical application. Also, block preconditioners are constructed and analyzed that exploit the structure of the underlying linear system. Specifically, KKT systems are considered, and the preconditioners are tested for use within Krylov subspace methods. The project was financed by the foundation Stiftung Rheinland-Pfalz für Innovation and carried out in joint work with TGU GmbH, a company of consulting engineers for ground water and water resources.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit (frequent) universellen Funktionen bezüglich Differentialoperatoren und gewichteten Shiftoperatoren. Hierbei wird ein Charakteristikum von Funktionen vom Exponentialtyp untersucht, das bisher im Rahmen der Universalität noch nicht betrachtet wurde: Das konjugierte Indikatordiagramm. Dabei handelt es sich um eine kompakte und konvexe Menge, die einer Funktion vom Exponentialtyp zugeordnet ist und gewisse Rückschlüsse über das Wachstum und die mögliche Nullstellenverteilung zulässt. Mittels einer speziellen Transformation werden (frequent) universelle Funktionen vom Exponentialtyp bezüglich verschiedener Differentialoperatoren ineinander überführt. Hierdurch ist eine genaue Lokalisation der konjugierten Indikatordiagramme möglicher (frequent) universeller Funktionen für diese Operatoren ableitbar. Durch Konjugation der Differentiation mit gewichteten Shiftoperatoren über das Hadamardprodukt, wird auch für diese Operatoren eine Lokalisation möglicher konjugierter Indikatordiagramme ihrer (frequent) universellen Funktionen erreicht.
In splitting theory of locally convex spaces we investigate evaluable characterizations of the pairs (E, X) of locally convex spaces such that each exact sequence 0 -> X -> G -> E -> 0 of locally convex spaces splits, i.e. either X -> G has a continuous linear left inverse or G -> E has a continuous linear right inverse. In the thesis at hand we deal with splitting of short exact sequences of so-called PLH spaces, which are defined as projective limits of strongly reduced spectra of strong duals of Fréchet-Hilbert spaces. This class of locally convex spaces contains most of the spaces of interest for application in the theory of partial differential operators as the space of Schwartz distributions , the space of real analytic functions and various spaces of ultradifferentiable functions and ultradistributions. It also contains non-Schwartz spaces as B(2,k,loc)(Ω) and spaces of smooth and square integrable functions that are not covered by the current theory for PLS spaces. We prove a complete characterizations of the above problem in the case of X being a PLH space and E either being a Fréchet-Hilbert space or a strong dual of one by conditions of type (T ). To this end, we establish the full homological toolbox of Yoneda Ext functors in exact categories for the category of PLH spaces including the long exact sequence, which in particular involves a thorough discussion of the proper concept of exactness. Furthermore, we exhibit the connection to the parameter dependence problem via the Hilbert tensor product for hilbertizable locally convex spaces. We show that the Hilbert tensor product of two PLH spaces is again a PLH space which in particular proves the positive answer to Grothendieck- problème des topologies. In addition to that we give a complete characterization of the vanishing of the first derivative of the functor proj for tensorized PLH spectra if one of the PLH spaces E and X meets some nuclearity assumptions. To apply our results to concrete cases we establish sufficient conditions of (DN)-(Ω) type and apply them to the parameter dependence problem for partial differential operators with constant coefficients on B(2,k,loc)(Ω) spaces as well as to the smooth and square integrable parameter dependence problem. Concluding we give a complete solution of all the problems under consideration for PLH spaces of Köthe type.
The main achievement of this thesis is an analysis of the accuracy of computations with Loader's algorithm for the binomial density. This analysis in later progress of work could be used for a theorem about the numerical accuracy of algorithms that compute rectangle probabilities for scan statistics of a multinomially distributed random variable. An example that shall illustrate the practical use of probabilities for scan statistics is the following, which arises in epidemiology: Let n patients arrive at a clinic in d = 365 days, each of the patients with probability 1/d at each of these d days and all patients independently from each other. The knowledge of the probability, that there exist 3 adjacent days, in which together more than k patients arrive, helps deciding, after observing data, if there is a cluster which we would not suspect to have occurred randomly but for which we suspect there must be a reason. Formally, this epidemiological example can be described by a multinomial model. As multinomially distributed random variables are examples of Markov increments, which is a fact already used implicitly by Corrado (2011) to compute the distribution function of the multinomial maximum, we can use a generalized version of Corrado's Algorithm to compute the probability described in our example. To compute its result, the algorithm for rectangle probabilities for Markov increments always uses transition probabilities of the corresponding Markov Chain. In the multinomial case, the transition probabilities of the corresponding Markov Chain are binomial probabilities. Therefore, we start an analysis of accuracy of Loader's algorithm for the binomial density, which for example the statistical software R uses. With the help of accuracy bounds for the binomial density we would be able to derive accuracy bounds for the computation of rectangle probabilities for scan statistics of multinomially distributed random variables. To figure out how sharp derived accuracy bounds are, in examples these can be compared to rigorous upper bounds and rigorous lower bounds which we obtain by interval-arithmetical computations.
In the first part of this work we generalize a method of building optimal confidence bounds provided in Buehler (1957) by specializing an exhaustive class of confidence regions inspired by Sterne (1954). The resulting confidence regions, also called Buehlerizations, are valid in general models and depend on a designated statistic'' that can be chosen according to some desired monotonicity behaviour of the confidence region. For a fixed designated statistic, the thus obtained family of confidence regions indexed by their confidence level is nested. Buehlerizations have furthermore the optimality property of being the smallest (w.r.t. set inclusion) confidence regions that are increasing in their designated statistic. The theory is eventually applied to normal, binomial, and exponential samples. The second part deals with the statistical comparison of pairs of diagnostic tests and establishes relations 1. between the sets of lower confidence bounds, 2. between the sets of pairs of comparable lower confidence bounds, and 3. between the sets of admissible lower confidence bounds in various models for diverse parameters of interest.
Die Probleme bezüglich der Existenz universeller Funktionen und die universelle Approximation von Funktionen sind von klassischer Natur und spielen eine zentrale Rolle. Folgende Untersuchungen sind Gegenstand dieser Arbeit: Universelle Funktionen, die durch Lückenreihen dargestellt werden, sog. eingeschränkte Universalitäten, mehrfache Universalitäten sowie die universelle Approximation messbarer Funktionen. In einem letzten Kapitel werden abschließend ganzzahlige Cesaro-Mittel untersucht. Hier zeigt sich, dass alle bewiesenen Ergebnisse dieser Arbeit über universelle Approximation im Komplement des abgeschlossenen Einheitskreises durch Teilsummen einer Potenzreihe vom Konvergenzradius 1 auch auf die jeweiligen ganzzahligen Cesaro-Transformierten der Teilsummen übertragbar sind.
The discretization of optimal control problems governed by partial differential equations typically leads to large-scale optimization problems. We consider flow control involving the time-dependent Navier-Stokes equations as state equation which is stamped by exactly this property. In order to avoid the difficulties of dealing with large-scale (discretized) state equations during the optimization process, a reduction of the number of state variables can be achieved by employing a reduced order modelling technique. Using the snapshot proper orthogonal decomposition method, one obtains a low-dimensional model for the computation of an approximate solution to the state equation. In fact, often a small number of POD basis functions suffices to obtain a satisfactory level of accuracy in the reduced order solution. However, the small number of degrees of freedom in a POD based reduced order model also constitutes its main weakness for optimal control purposes. Since a single reduced order model is based on the solution of the Navier-Stokes equations for a specified control, it might be an inadequate model when the control (and consequently also the actual corresponding flow behaviour) is altered, implying that the range of validity of a reduced order model, in general, is limited. Thus, it is likely to meet unreliable reduced order solutions during a control problem solution based on one single reduced order model. In order to get out of this dilemma, we propose to use a trust-region proper orthogonal decomposition (TRPOD) approach. By embedding the POD based reduced order modelling technique into a trust-region framework with general model functions, we obtain a mechanism for updating the reduced order models during the optimization process, enabling the reduced order models to represent the flow dynamics as altered by the control. In fact, a rigorous convergence theory for the TRPOD method is obtained which justifies this procedure also from a theoretical point of view. Benefiting from the trust-region philosophy, the TRPOD method guarantees to save a lot of computational work during the control problem solution, since the original state equation only has to be solved if we intend to update our model function in the trust-region framework. The optimization process itself is completely based on reduced order information only.
Zu den klassischen Verteilungen der mathematischen Statistik zählen die zentralen F- und t-Verteilungen. Die vorliegende Arbeit untersucht Verallgemeinerungen dieser Verteilungen, die sogenannten doppelt nichtzentralen F- und t-Verteilungen, welche in der statistischen Testtheorie von Bedeutung sind. Die Tatsache, dass die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten nur in Form von Parameterintegral- bzw. Doppelreihendarstellungen gegeben sind, stellt eine große Herausforderung bei der Untersuchung analytischer Eigenschaften dar. Unter Verwendung von Techniken aus der Theorie der vorzeichenregulären Funktionen gelingt es, die bisher vermutete, jedoch lediglich aus Approximationen abgeleitete, strikt unimodale Gestalt der Dichtefunktion für eine große Klasse doppelt nichtzentraler Verteilungen zu zeigen. Dieses Resultat gestattet die Untersuchung des eindeutig bestimmten Modus als Funktion gewisser Nichtzentralitätsparameter. Hier erweist sich die Theorie der vorzeichenregulären Funktionen als wichtiges Hilfsmittel, um monotone Abhängigkeiten nachzuweisen.
Die Dissertation mit dem Thema "Cross-Border-Leasing als Instrument der Kommunalfinanzierung " Eine finanzwirtschaftliche Analyse unter besonderer Berücksichtigung der Risiken - befasst sich am Beispiel des primär steuerinduzierten, grenzüberschreitenden Cross-Border-Leasings (CBL) mit einem innovativen, strukturierten Finanzierungsinstrument, das sich im Spannungsfeld von Rechtsstaatlichkeit und privatwirtschaftlichem Management öffentlicher Akteure befindet. Dazu werden bereits finanzierte und sich im Betrieb befindliche Assets in Variationen von langfristigen Leasingverträge eingebracht. Durch die geschickte Ausnutzung steuerlicher Zurechnungskriterien werden unter Einbindung mehrerer Jurisdiktionen Gewinnverschiebungsmöglichkeiten und Steueroptimierungspotenziale geschaffen, wobei die generierten Zusatzerträge unter den Akteuren aufgeteilt werden. Die Untersuchung orientiert sich an einem umfassenden forschungsleitenden Fragenkatalog, der sehr vielschichtig und zudem interdisziplinär die komplexen Aspekte des CBLs theoretisch sowie praktisch an einem Fallbeispiel untersucht. Zunächst erfolgt die Einbettung des CBLs in den kommunalen Hintergrund. Daran schliesst sich eine Darstellung des Untersuchungsgegenstands im Hinblick auf seine elementare Grundstruktur, Zahlungsströme, Vertragsparteien und deren bilateralen Verpflechtungen an. Daneben erfolgt eine Analyse der öffentlich-rechtlichen Implikationen des CBLs sowie der regulatorischen kommunalaufsichtsrechtlichen Anforderungen. Im zentralen empirischen Teil der Dissertation wird eine idealtypische CBL-Transaktion einer bundesdeutschen Metropole als Fallstudie analysiert: im Rahmen einer erstmaligen wissenschaftlichen Analyse einer Orginaldokumentation werden zunächst die strukturellen Rahmenparameter untersucht, um dann den Finanzierungsvorteil der Transaktion zu ermitteln. Eine Klassifikation erfolgt dabei in diejenigen Risken, die sich unmittelbar im Einflussbereich der Kommune befinden und somit direkt, d.h. durch aktives eigenes Handeln, minimiert oder vermieden werden können und in solche, die aus ihrer Sicht extern sind. Abgerundet wird die Risikoanalyse durch eine Abschätzung der maximalen Risikoposition in Form der Schadensersatzzahlungen, die die Kommune in vertraglich vereinbarten Fällen leisten muss. Dabei ermittelt die Verfasserin den Break-Even der Transaktion und setzt Szenarien sowie mathematische Modelle ein, um die inhärenten Risiken aufgrund ihrer Kostenfolgen sorgfältig gegenüber dem vereinnahmten kurzfristigen Vorteil abzuwägen. Die Untersuchung bedient sich dem anerkannten mathematisch-statistischen Value-at-Risk-Verfahren (VaR), das unter Verwendung von Ansätzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung das Marktpreisrisiko zu quantifizieren vermag. Um zu validen Ergebnissen zu gelangen, werden zur Ermittlung des VaRs die beiden bekanntesten (nicht-parametrischen) Tools des VaR-Ansatzes angewendet, um die potenziellen Performanceschwankungen des Depotwertes unter Zugrundelegung bestimmter Wahrscheinlichkeiten abschätzen zu können. Dies ist das Verfahren der Historischen Simulation sowie die als mathematisch sehr anspruchsvoll eingestufte Monte-Carlo-Simulation. Als Weiterentwicklung des VaR-Modells wird zudem der Conditional VaR berechnet, der Aussagen über das Ausmaß der erwarteten Verluste zulässt. Anhand dieser Ergebnisse wird die maximale finanzielle Risikoposition der Kommune, bezogen auf das Kapitaldepot, abgeleitet. Darüber hinaus wird das CBL im Rahmen eines mathematischen Modells insgesamt beurteilt, indem eine Gegenüberstellung von vereinnahmtem Finanzierungsvorteil und den mit Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Ausfallrisiken, unter Berücksichtigung des jeweiligen Eintrittszeitpunktes, durchgeführt wird. Diese Vorgehensweise führt zu einer Symbiose aus Finanzierungsvorteil und den Risikomaßzahlen VaR, Expected Shortfall und Expected Loss. Die ermittelten finanzwirtschaftlichen Risikomaßzahlen führen zu überraschenden Ergebnissen, die die propagierte Risikolosigkeit und das vermeintlich attraktive Renditepotenzial derartiger Transaktionen eindeutig verneinen. Aus den gewonnenen Erkenntnissen leitet die Verfasserin praktische Handlungsempfehlungen und Absicherungsmöglichkeiten für kommunale Entscheidungsträger ab. Die sich aufgrund der US-Steuerrechtsänderung vom Februar 2005 ergebenden Auswirkungen auf bestehende Transaktionen wie auch auf Neugeschäfte werden im Ausblick dargelegt.