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Die Probleme bezüglich der Existenz universeller Funktionen und die universelle Approximation von Funktionen sind von klassischer Natur und spielen eine zentrale Rolle. Folgende Untersuchungen sind Gegenstand dieser Arbeit: Universelle Funktionen, die durch Lückenreihen dargestellt werden, sog. eingeschränkte Universalitäten, mehrfache Universalitäten sowie die universelle Approximation messbarer Funktionen. In einem letzten Kapitel werden abschließend ganzzahlige Cesaro-Mittel untersucht. Hier zeigt sich, dass alle bewiesenen Ergebnisse dieser Arbeit über universelle Approximation im Komplement des abgeschlossenen Einheitskreises durch Teilsummen einer Potenzreihe vom Konvergenzradius 1 auch auf die jeweiligen ganzzahligen Cesaro-Transformierten der Teilsummen übertragbar sind.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
The optimal control of fluid flows described by the Navier-Stokes equations requires massive computational resources, which has led researchers to develop reduced-order models, such as those derived from proper orthogonal decomposition (POD), to reduce the computational complexity of the solution process. The object of the thesis is the acceleration of such reduced-order models through the combination of POD reduced-order methods with finite element methods at various discretization levels. Special stabilization methods required for high-order solution of flow problems with dominant convection on coarse meshes lead to numerical data that is incompatible with standard POD methods for reduced-order modeling. We successfully adapt the POD method for such problems by introducing the streamline diffusion POD method (SDPOD). Using the novel SDPOD method, we experiment with multilevel recursive optimization at Reynolds numbers of Re=400 and Re=10,000.
Es wird die Existenz einer Potenzreihe vom Konvergenzradius 1 bewiesen, so dass die mit einer zweifach unendlichen Matrix A (deren komplexe Einträge drei Bedingungen erfüllen müssen) gebildeten A -Transformierten außerhalb des (einfach zusammenhängenden) Holomorphiegebietes der Potenzreihe überkonvergieren. Das Hauptergebnis der Arbeit ist ein Satz über die Existenz einer universellen Potenzreihe vom Konvergenzradius 1, so dass deren A "Transformierte stetige Funktionen auf kompakten, holomorphe Funktionen auf offenen Mengen (in beiden Fällen liegen die Mengen im Komplement des einfach zusammenhängenden Holomorphiegebietes der Potenzreihe) approximieren und sich zusätzlich zur fast-überall-Approximation messbarer Funktionen auf messbaren Mengen (im Komplement des Holomorphiegebietes der Potenzreihe gelegen) eignen. Als wichtige Konsequenz dieses Hauptergebnisses ergibt sich für den Fall, dass das Holomorphiegebietes der Potenzreihe der Einheitskreis ist, die Existenz einer universellen trigonometrischen Reihe, so dass deren A "Transformierte auf dem Rand des Einheitskreises stetige Funktionen approximieren und zusätzlich messbare Funktionen fast-überall auf [0,2π] approximieren
The subject of this thesis is hypercyclic, mixing, and chaotic C0-semigroups on Banach spaces. After introducing the relevant notions and giving some examples the so called hypercyclicity criterion and its relation with weak mixing is treated. Some new equivalent formulations of the criterion are given which are used to derive a very short proof of the well-known fact that a C0-semigroup is weakly mixing if and only if each of its operators is. Moreover, it is proved that under some "regularity conditions" each hypercyclic C0-semigroup is weakly mixing. Furthermore, it is shown that for a hypercyclic C0-semigroup there is always a dense set of hypercyclic vectors having infinitely differentiable trajectories. Chaotic C0-semigroups are also considered. It is proved that they are always weakly mixing and that in certain cases chaoticity is already implied by the existence of a single periodic point. Moreover, it is shown that strongly elliptic differential operators on bounded C^1-domains never generate chaotic C0-semigroups. A thorough investigation of transitivity, weak mixing, and mixing of weighted compositioin operators follows and complete characterisations of these properties are derived. These results are then used to completely characterise hypercyclicity, weak mixing, and mixing of C0-semigroups generated by first order partial differential operators. Moreover, a characterisation of chaos for these C0-semigroups is attained. All these results are achieved on spaces of p-integrable functions as well as on spaces of continuous functions and illustrated by various concrete examples.
Eine ganze Funktion φ heißt T-universell bezüglich einer gegebenen Folge b:={b_{n}\}_{n \in ℕ komplexer Zahlen mit b_{n} \to \infty$, falls eine geeignete Folge φ(z+b_{n_{k}})\}$ additiver Translationen von φ lokal gleichmäßig in ℂ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert. Ferner nennen wir eine ganze Funktion φ, für welche eine geeignete Folge φ{(n_k)}\}$ ihrer Ableitungen lokal gleichmäßig in ℂ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert, ableitungsuniversell. Die Existenz solcher Funktionen wurde von Birkhoff (1929) und MacLane (1952) bzw. Verallgemeinerungen ihrer Ergebnisse gesichert. In dieser Arbeit wird die Konstruktion solcher Funktionen, die zusätzlich auf jeder Geraden beschränkt sind oder Nullstellen an bestimmten vorgegebenen Punkten besitzen, studiert. Im Besonderen stellte sich hierbei heraus, dass die Menge aller bezüglich einer gegebenen Folge b - welche einer gewissen Bedingung genügt - T-universellen Funktionen, die überdies auf jeder Geraden beschränkt sind, zwar dicht, aber nicht residual im Raum aller ganzen Funktionen versehen mit der lokal-gleichmäßigen Topologie ist. Ebenso überraschend ist die Konstruktion von T-universellen Funktionen, welche eine "regelmäßige Nullstellenasymptotik" besitzen.
Die Dissertation mit dem Thema "Cross-Border-Leasing als Instrument der Kommunalfinanzierung " Eine finanzwirtschaftliche Analyse unter besonderer Berücksichtigung der Risiken - befasst sich am Beispiel des primär steuerinduzierten, grenzüberschreitenden Cross-Border-Leasings (CBL) mit einem innovativen, strukturierten Finanzierungsinstrument, das sich im Spannungsfeld von Rechtsstaatlichkeit und privatwirtschaftlichem Management öffentlicher Akteure befindet. Dazu werden bereits finanzierte und sich im Betrieb befindliche Assets in Variationen von langfristigen Leasingverträge eingebracht. Durch die geschickte Ausnutzung steuerlicher Zurechnungskriterien werden unter Einbindung mehrerer Jurisdiktionen Gewinnverschiebungsmöglichkeiten und Steueroptimierungspotenziale geschaffen, wobei die generierten Zusatzerträge unter den Akteuren aufgeteilt werden. Die Untersuchung orientiert sich an einem umfassenden forschungsleitenden Fragenkatalog, der sehr vielschichtig und zudem interdisziplinär die komplexen Aspekte des CBLs theoretisch sowie praktisch an einem Fallbeispiel untersucht. Zunächst erfolgt die Einbettung des CBLs in den kommunalen Hintergrund. Daran schliesst sich eine Darstellung des Untersuchungsgegenstands im Hinblick auf seine elementare Grundstruktur, Zahlungsströme, Vertragsparteien und deren bilateralen Verpflechtungen an. Daneben erfolgt eine Analyse der öffentlich-rechtlichen Implikationen des CBLs sowie der regulatorischen kommunalaufsichtsrechtlichen Anforderungen. Im zentralen empirischen Teil der Dissertation wird eine idealtypische CBL-Transaktion einer bundesdeutschen Metropole als Fallstudie analysiert: im Rahmen einer erstmaligen wissenschaftlichen Analyse einer Orginaldokumentation werden zunächst die strukturellen Rahmenparameter untersucht, um dann den Finanzierungsvorteil der Transaktion zu ermitteln. Eine Klassifikation erfolgt dabei in diejenigen Risken, die sich unmittelbar im Einflussbereich der Kommune befinden und somit direkt, d.h. durch aktives eigenes Handeln, minimiert oder vermieden werden können und in solche, die aus ihrer Sicht extern sind. Abgerundet wird die Risikoanalyse durch eine Abschätzung der maximalen Risikoposition in Form der Schadensersatzzahlungen, die die Kommune in vertraglich vereinbarten Fällen leisten muss. Dabei ermittelt die Verfasserin den Break-Even der Transaktion und setzt Szenarien sowie mathematische Modelle ein, um die inhärenten Risiken aufgrund ihrer Kostenfolgen sorgfältig gegenüber dem vereinnahmten kurzfristigen Vorteil abzuwägen. Die Untersuchung bedient sich dem anerkannten mathematisch-statistischen Value-at-Risk-Verfahren (VaR), das unter Verwendung von Ansätzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung das Marktpreisrisiko zu quantifizieren vermag. Um zu validen Ergebnissen zu gelangen, werden zur Ermittlung des VaRs die beiden bekanntesten (nicht-parametrischen) Tools des VaR-Ansatzes angewendet, um die potenziellen Performanceschwankungen des Depotwertes unter Zugrundelegung bestimmter Wahrscheinlichkeiten abschätzen zu können. Dies ist das Verfahren der Historischen Simulation sowie die als mathematisch sehr anspruchsvoll eingestufte Monte-Carlo-Simulation. Als Weiterentwicklung des VaR-Modells wird zudem der Conditional VaR berechnet, der Aussagen über das Ausmaß der erwarteten Verluste zulässt. Anhand dieser Ergebnisse wird die maximale finanzielle Risikoposition der Kommune, bezogen auf das Kapitaldepot, abgeleitet. Darüber hinaus wird das CBL im Rahmen eines mathematischen Modells insgesamt beurteilt, indem eine Gegenüberstellung von vereinnahmtem Finanzierungsvorteil und den mit Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Ausfallrisiken, unter Berücksichtigung des jeweiligen Eintrittszeitpunktes, durchgeführt wird. Diese Vorgehensweise führt zu einer Symbiose aus Finanzierungsvorteil und den Risikomaßzahlen VaR, Expected Shortfall und Expected Loss. Die ermittelten finanzwirtschaftlichen Risikomaßzahlen führen zu überraschenden Ergebnissen, die die propagierte Risikolosigkeit und das vermeintlich attraktive Renditepotenzial derartiger Transaktionen eindeutig verneinen. Aus den gewonnenen Erkenntnissen leitet die Verfasserin praktische Handlungsempfehlungen und Absicherungsmöglichkeiten für kommunale Entscheidungsträger ab. Die sich aufgrund der US-Steuerrechtsänderung vom Februar 2005 ergebenden Auswirkungen auf bestehende Transaktionen wie auch auf Neugeschäfte werden im Ausblick dargelegt.
Wenn eine stets von Null verschiedene Nullfolge h_n gegeben ist, dann existieren nach einem Satz von Marcinkiewicz stetige Funktionen f vom Intervall [0,1] in die reelle Achse, die in dem Sinne maximal nicht differenzierbar sind, dass zu jeder messbaren Funktion g ein Teilfolge n_k existiert, so dass (f(x+h_n_k)-f(x))/h_n_k fast sicher gegen g konvergiert. Im ersten Teil dieser Arbeit beweisen wir Erweiterungen dieses Satzes im Mehrdimensionalen und Analoga für Funktionen in der komplexen Ebene. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit Operatoren die in enger Beziehung zum Satz von Korovkin über positive lineare Operatoren stehen. Wir zeigen, dass es Operatoren L_n gibt, die jeweils eine der Eigenschaften aus dem Satz von Korovkin nicht erfüllen und gleichzeitig eine residuale Menge von Funktionen f existiert, so dass L_nf nicht nur nicht gegen f konvergiert, sondern sogar dicht im Raum aller stetigen Funktionen des Intervalls [0,1] ist. Ähnliche Phänomene werden bei polynomieller Interpolation untersucht.
In this thesis, we investigate the quantization problem of Gaussian measures on Banach spaces by means of constructive methods. That is, for a random variable X and a natural number N, we are searching for those N elements in the underlying Banach space which give the best approximation to X in the average sense. We particularly focus on centered Gaussians on the space of continuous functions on [0,1] equipped with the supremum-norm, since in that case all known methods failed to achieve the optimal quantization rate for important Gauss-processes. In fact, by means of Spline-approximations and a scheme based on the Best-Approximations in the sense of the Kolmogorov n-width we were able to attain the optimal rate of convergence to zero for these quantization problems. Moreover, we established a new upper bound for the quantization error, which is based on a very simple criterion, the modulus of smoothness of the covariance function. Finally, we explicitly constructed those quantizers numerically.