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In den letzten Jahren führte die intensive Forschung im Bereich der Hochleistungskommunikationsnetze zu kontinuierlichen technologischen Verbesserungen. Gegenwärtig ist eine schnell wachsende Nachfrage nach mobilen Kommunikationssystemen wie Mobiltelefonen oder kabellosen Computernetzen zu verzeichnen. Parallel zu diesen Entwicklungen stiegen die Anforderungen an die Methoden zur Leistungsanalyse derartiger Systeme. Die Warteschlangentheorie stellt klassische Modelle zur Analyse von Kommunikationsnetzen bereit. Ein Bereich in der modernen Warteschlangentheorie sind die Matrixanalytischen Methoden. Hier konzentriert sich die Forschung auf den Batch Markovian Arrival Process (BMAP), welcher äquivalent zu Neuts Versatile Markovian Point Process ist, und Warteschlangensysteme mit diesem Ankunftsprozeß. Der BMAP ist eine Verallgemeinerung des Poisson Prozesses, des Markov Modulated Poisson Process (MMPP) und des Markovian Arrival Process (MAP). Das BMAP/G/1 Warteschlangensystem wurde analysiert von Ramaswami (damals noch mit der Bezeichnung N/G/1) und Lucantoni. Weitere Varianten wurden später untersucht. Die bisher betrachteten Ankunftsprozesse sind räumlich homogen und somit unabhängig vom aktuellen Zustand des Warteschlangensystems. In modernen Kommunikationsnetzen, wie z.B. ATM, kann jedoch ein dynamisches Routing erfolgen, so daß der Ankunftsstrom in einen Knoten vom aktuellen Zustand dieses Knotens abhängt. Dies war unser Ausgangspunkt für die Definition eines Level-abhängigen BMAPs und die Analyse des BMAP/G/1 Warteschlangensystems mit Level-abhängigen Ankünften. Letzteres stellt eine Verallgemeinerung des klassischen BMAP/G/1 Warteschlangensystems dar. Es umfaßt auch das BMAP/G/1 Warteschlangensystem mit beschränktem Warteraum. Im ersten Teil dieser Arbeit definieren wir einen Level-abhängigen BMAP und leiten wichtige Eigenschaften der Generatormatrix und der Übergangswahrscheinlichkeiten her. Wir zeigen, daß die Übergangsmatrix des Level-abhängigen BMAPs die Vorwärts- und Rückwärtsdifferentialgleichungen erfüllt und somit als Matrixexponentialfunktion der Generatormatrix darstellbar ist. Der zweite Teil befaßt sich mit der Analyse des BMAP/G/1 Warteschlangensystems mit Level-abhängigen Ankünften. Dieses Warteschlangensystem und die zugehörigen stochastischen Prozesse werden in Kapitel 2 eingeführt. Um die Grenzverteilung der Warteschlangenlänge zu bestimmen, verwenden wir die Methode der eingebetteten Markov Kette. In Kapitel 3 bestimmen wir die Einträge der Übergangsmatrix der eingebetteten Markov Kette und die mittlere Zahl Ankünfte während einer Bedienzeit. Stabilitätsbedingungen für das BMAP/G/1 Warteschlangensystem mit Level- abhängigen Ankünften werden durch Anwendung eines verallgemeinerten Foster Kriteriums hergeleitet. Im Level-unabhängigen Fall spielt die Fundamentalperiodenmatrix G die Hauptrolle bei der Bestimmung der Gleichgewichtsverteilung. In unserem Fall hängen die Fundamentalperioden vom Anfangslevel k ab. Daher erhalten wir verschiedene Fundamentalperiodenmatrizen G ( k ) für alle Level k >= 1 . Wir leiten zwei Algorithmen zur Berechnung dieser Matrizen her. Weiterhin zeigen wir, daß die Vektoren der mittleren Anzahlen Bedienabschlüsse während einer Fundamentalperiode die eindeutige Lösung eines unendlich - dimensionalen Systems linearer Gleichungen bilden. Mit diesen Ergebnissen kann die stationäre Verteilung der Warteschlangenlänge zu Bedienabschlußzeitpunkten bestimmt werden. Wir wenden ein Ergebnis aus der Theorie der Semi-Markov Prozesse an, um die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten für Level 0 zu erhalten. Um die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten der übrigen Level zu berechnen, verallgemeinern wir die Formel von Ramaswami. Die Grenzverteilung der Warteschlangenlänge zu beliebigen Zeitpunkten wird unter Verwendung des Hauptsatzes der Erneuerungstheorie hergeleitet. Im dritten Teil betrachten wir einige Spezialfälle. Zunächst nehmen wir an, daß der Phasenprozeß Level-unabhängig sei. In diesem Fall können wir einige unserer Ergebnisse erweitern. Insbesondere leiten wir eine stärkere Stabilitätsbedingung her. Wir beenden diesen Teil, indem wir zeigen, daß unsere Ergebnisse mit den für das klassische BMAP/G/1 Warteschlangensystem und das BMAP/G/1 Warteschlangensystem mit beschränktem Warteraum übereinstimmen. Zum Abschluß dieser Arbeit geben wir einige Hinweise für weitere Forschungen.
The main achievement of this thesis is an analysis of the accuracy of computations with Loader's algorithm for the binomial density. This analysis in later progress of work could be used for a theorem about the numerical accuracy of algorithms that compute rectangle probabilities for scan statistics of a multinomially distributed random variable. An example that shall illustrate the practical use of probabilities for scan statistics is the following, which arises in epidemiology: Let n patients arrive at a clinic in d = 365 days, each of the patients with probability 1/d at each of these d days and all patients independently from each other. The knowledge of the probability, that there exist 3 adjacent days, in which together more than k patients arrive, helps deciding, after observing data, if there is a cluster which we would not suspect to have occurred randomly but for which we suspect there must be a reason. Formally, this epidemiological example can be described by a multinomial model. As multinomially distributed random variables are examples of Markov increments, which is a fact already used implicitly by Corrado (2011) to compute the distribution function of the multinomial maximum, we can use a generalized version of Corrado's Algorithm to compute the probability described in our example. To compute its result, the algorithm for rectangle probabilities for Markov increments always uses transition probabilities of the corresponding Markov Chain. In the multinomial case, the transition probabilities of the corresponding Markov Chain are binomial probabilities. Therefore, we start an analysis of accuracy of Loader's algorithm for the binomial density, which for example the statistical software R uses. With the help of accuracy bounds for the binomial density we would be able to derive accuracy bounds for the computation of rectangle probabilities for scan statistics of multinomially distributed random variables. To figure out how sharp derived accuracy bounds are, in examples these can be compared to rigorous upper bounds and rigorous lower bounds which we obtain by interval-arithmetical computations.