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This thesis addresses three different topics from the fields of mathematical finance, applied probability and stochastic optimal control. Correspondingly, it is subdivided into three independent main chapters each of which approaches a mathematical problem with a suitable notion of a stochastic particle system.
In Chapter 1, we extend the branching diffusion Monte Carlo method of Henry-Labordère et. al. (2019) to the case of parabolic PDEs with mixed local-nonlocal analytic nonlinearities. We investigate branching diffusion representations of classical solutions, and we provide sufficient conditions under which the branching diffusion representation solves the PDE in the viscosity sense. Our theoretical setup directly leads to a Monte Carlo algorithm, whose applicability is showcased in two stylized high-dimensional examples. As our main application, we demonstrate how our methodology can be used to value financial positions with defaultable, systemically important counterparties.
In Chapter 2, we formulate and analyze a mathematical framework for continuous-time mean field games with finitely many states and common noise, including a rigorous probabilistic construction of the state process. The key insight is that we can circumvent the master equation and reduce the mean field equilibrium to a system of forward-backward systems of (random) ordinary differential equations by conditioning on common noise events. We state and prove a corresponding existence theorem, and we illustrate our results in three stylized application examples. In the absence of common noise, our setup reduces to that of Gomes, Mohr and Souza (2013) and Cecchin and Fischer (2020).
In Chapter 3, we present a heuristic approach to tackle stochastic impulse control problems in discrete time. Based on the work of Bensoussan (2008) we reformulate the classical Bellman equation of stochastic optimal control in terms of a discrete-time QVI, and we prove a corresponding verification theorem. Taking the resulting optimal impulse control as a starting point, we devise a self-learning algorithm that estimates the continuation and intervention region of such a problem. Its key features are that it explores the state space of the underlying problem by itself and successively learns the behavior of the optimally controlled state process. For illustration, we apply our algorithm to a classical example problem, and we give an outlook on open questions to be addressed in future research.
In 40 Referenzgebieten in Schleswig-Holstein sind im Zeitraum zwischen 1995 und 2002 Feldhasendichten (Lepus europaeus) mittels Scheinwerfertaxation ermittelt worden. Parallel dazu wurden in den durchschnittlich etwa 1000 ha großen Gebieten die Geheckdichten des Rotfuchses (Vulpes vulpes) sowie die Brutpaardichten des Mäuse-bussards (Buteo buteo) bestimmt. Die Feldhasendichten variierten im Frühjahr zwischen 1,2 und 85 Hasen/100 ha und im Herbst zwischen 5 und 127 Hasen/100 ha. Zur Analyse eines potentiellen Einflusses der landschaftlichen Gegebenheiten auf die Feldhasenpopulationen erfolgte eine digitale Erfassung der linearen Landschaftselemente. Außerdem wurden Flächennutzungskartierungen zur Feststellung der Ackernutzung durchgeführt. Zur Bestimmung des Klimaeinflusses wurden Temperatur- und Niederschlagswerte zu Dekadenmittelwerten zusammengefasst und mit der durchschnittlichen Höhe der Nettore-produktionsleistung und der Populationsdichte korreliert. Während die klimatischen Einflüsse nicht die Populationsdichte oder die mittlere Zuwachsleistung bestimmen, diktieren die Niederschlagssummen insbesondere der letzten beiden März- und der ersten beiden Aprildekaden die dichteunabhängige, annuelle Ausprägung des Nettozuwachses. Landschaftsparameter konnten nicht monokausal in Beziehung zur Konstitution der Hasenpopulation gesetzt werden, während sich enge Beziehungen mit negativem Vorzeichen zwischen dem Rotfuchsvorkommen und der Dichte des Feldhasen ergaben (p<0,01). In einer Multifaktorenanalyse wurde als dominierende Einflussgröße für das derzeitige Feldhasenvorkommen der Rotfuchs bestimmt. Die Anbauvielfalt in der Landwirtschaft scheint einen positiven Einfluss auf den langjährigen Reproduktionserfolg zu besitzen, wohingegen die Zahl der Mutterbaue des Rotfuchses eine höhere Reproduktionsleistung zu vereiteln scheint. Die Jagd auf den Feldhasen wurde als Form der nachhaltigen Nutzung herausgestellt. Die jaglich induzierte Sterblichkeit stellt eine teilweise kompensatorische Mortalität dar.