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- POD-Methode (2) (entfernen)
Krylov subspace methods are often used to solve large-scale linear equations arising from optimization problems involving partial differential equations (PDEs). Appropriate preconditioning is vital for designing efficient iterative solvers of this type. This research consists of two parts. In the first part, we compare two different kinds of preconditioners for a conjugate gradient (CG) solver attacking one partial integro-differential equation (PIDE) in finance, both theoretically and numerically. An analysis on mesh independence and rate of convergence of the CG solver is included. The knowledge of preconditioning the PIDE is applied to a relevant optimization problem. The second part aims at developing a new preconditioning technique by embedding reduced order models of nonlinear PDEs, which are generated by proper orthogonal decomposition (POD), into deflated Krylov subspace algorithms in solving corresponding optimization problems. Numerical results are reported for a series of test problems.
Bei der Preisberechnung von Finanzderivaten bieten sogenannte Jump-diffusion-Modelle mit lokaler Volatilität viele Vorteile. Aus mathematischer Sicht jedoch sind sie sehr aufwendig, da die zugehörigen Modellpreise mittels einer partiellen Integro-Differentialgleichung (PIDG) berechnet werden. Wir beschäftigen uns mit der Kalibrierung der Parameter eines solchen Modells. In einem kleinste-Quadrate-Ansatz werden hierzu Marktpreise von europäischen Standardoptionen mit den Modellpreisen verglichen, was zu einem Problem optimaler Steuerung führt. Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung der PIDG aus theoretischer und vor allem aus numerischer Sicht. Die durch ein implizites Zeitdiskretisierungsverfahren entstandenen, dicht besetzten Gleichungssysteme werden mit einem präkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, was zu beinahe linearem Aufwand bezüglich Orts- und Zeitdiskretisierung führt. Trotz dieser effizienten Lösungsmethode sind Funktionsauswertungen der kleinste-Quadrate-Zielfunktion immer noch teuer, so dass im Hauptteil der Arbeit Modelle reduzierter Ordnung basierend auf Proper Orthogonal Decomposition Anwendung finden. Lokale a priori Fehlerabschätzungen für die reduzierte Differentialgleichung sowie für die reduzierte Zielfunktion, kombiniert mit einem Trust-Region-Ansatz zur Globalisierung liefern einen effizienten Algorithmus, der die Rechenzeit deutlich verkürzt. Das Hauptresultat der Arbeit ist ein Konvergenzbeweis für diesen Algorithmus für eine weite Klasse von Optimierungsproblemen, in die auch das betrachtete Kalibrierungsproblem fällt.