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Given a compact set K in R^d, the theory of extension operators examines the question, under which conditions on K, the linear and continuous restriction operators r_n:E^n(R^d)→E^n(K),f↦(∂^α f|_K)_{|α|≤n}, n in N_0 and r:E(R^d)→E(K),f↦(∂^α f|_K)_{α in N_0^d}, have a linear and continuous right inverse. This inverse is called extension operator and this problem is known as Whitney's extension problem, named after Hassler Whitney. In this context, E^n(K) respectively E(K) denote spaces of Whitney jets of order n respectively of infinite order. With E^n(R^d) and E(R^d), we denote the spaces of n-times respectively infinitely often continuously partially differentiable functions on R^d. Whitney already solved the question for finite order completely. He showed that it is always possible to construct a linear and continuous right inverse E_n for r_n. This work is concerned with the question of how the existence of a linear and continuous right inverse of r, fulfilling certain continuity estimates, can be characterized by properties of K. On E(K), we introduce a full real scale of generalized Whitney seminorms (|·|_{s,K})_{s≥0}, where |·|_{s,K} coincides with the classical Whitney seminorms for s in N_0. We equip also E(R^d) with a family (|·|_{s,L})_{s≥0} of those seminorms, where L shall be a a compact set with K in L-°. This family of seminorms on E(R^d) suffices to characterize the continuity properties of an extension operator E, since we can without loss of generality assume that E(E(K)) in D^s(L).
In Chapter 2, we introduce basic concepts and summarize the classical results of Whitney and Stein.
In Chapter 3, we modify the classical construction of Whitney's operators E_n and show that |E_n(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for s in[n,n+1).
In Chapter 4, we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that LMI(1) for K implies the existence of an extension operator E without loss of derivatives, i.e. we have it fulfils |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{s,K} for all s≥0. We show that a large class of self similar sets, which includes the Cantor set and the Sierpinski triangle, admits an extensions operator without loss of derivatives.
In Chapter 5 we generalize a result of Frerick, Jordá and Wengenroth and show that WLMI(r) for r≥1 implies the existence of a tame linear extension operator E having a homogeneous loss of derivatives, such that |E(·)|_{s,L}≤C|·|_{(r+ε)s,K} for all s≥0 and all ε>0.
In the last chapter we characterize the existence of an extension operator having an arbitrary loss of derivatives by the existence of measures on K.
This thesis introduces a calibration problem for financial market models based on a Monte Carlo approximation of the option payoff and a discretization of the underlying stochastic differential equation. It is desirable to benefit from fast deterministic optimization methods to solve this problem. To be able to achieve this goal, possible non-differentiabilities are smoothed out with an appropriately chosen twice continuously differentiable polynomial. On the basis of this so derived calibration problem, this work is essentially concerned about two issues. First, the question occurs, if a computed solution of the approximating problem, derived by applying Monte Carlo, discretizing the SDE and preserving differentiability is an approximation of a solution of the true problem. Unfortunately, this does not hold in general but is linked to certain assumptions. It will turn out, that a uniform convergence of the approximated objective function and its gradient to the true objective and gradient can be shown under typical assumptions, for instance the Lipschitz continuity of the SDE coefficients. This uniform convergence then allows to show convergence of the solutions in the sense of a first order critical point. Furthermore, an order of this convergence in relation to the number of simulations, the step size for the SDE discretization and the parameter controlling the smooth approximation of non-differentiabilites will be shown. Additionally the uniqueness of a solution of the stochastic differential equation will be analyzed in detail. Secondly, the Monte Carlo method provides only a very slow convergence. The numerical results in this thesis will show, that the Monte Carlo based calibration indeed is feasible if one is concerned about the calculated solution, but the required calculation time is too long for practical applications. Thus, techniques to speed up the calibration are strongly desired. As already mentioned above, the gradient of the objective is a starting point to improve efficiency. Due to its simplicity, finite differences is a frequently chosen method to calculate the required derivatives. However, finite differences is well known to be very slow and furthermore, it will turn out, that there may also occur severe instabilities during optimization which may lead to the break down of the algorithm before convergence has been reached. In this manner a sensitivity equation is certainly an improvement but suffers unfortunately from the same computational effort as the finite difference method. Thus, an adjoint based gradient calculation will be the method of choice as it combines the exactness of the derivative with a reduced computational effort. Furthermore, several other techniques will be introduced throughout this thesis, that enhance the efficiency of the calibration algorithm. A multi-layer method will be very effective in the case, that the chosen initial value is not already close to the solution. Variance reduction techniques are helpful to increase accuracy of the Monte Carlo estimator and thus allow for fewer simulations. Storing instead of regenerating the random numbers required for the Brownian increments in the SDE will be efficient, as deterministic optimization methods anyway require to employ the identical random sequence in each function evaluation. Finally, Monte Carlo is very well suited for a parallelization, which will be done on several central processing units (CPUs).
In this thesis, we mainly investigate geometric properties of optimal codebooks for random elements $X$ in a seperable Banach space $E$. Here, for a natural number $ N $ and a random element $X$ , an $N$-optimal codebook is an $ N $-subset in the underlying Banach space $E$ which gives a best approximation to $ X $ in an average sense. We focus on two types of geometric properties: The global growth behaviour (growing in $N$) for a sequence of $N$-optimal codebooks is described by the maximal (quantization) radius and a so-called quantization ball. For many distributions, such as central-symmetric distributions on $R^d$ as well as Gaussian distributions on general Banach spaces, we are able to estimate the asymptotics of the quantization radius as well as the quantization ball. Furthermore, we investigate local properties of optimal codebooks, in particular the local quantization error and the weights of the Voronoi cells induced by an optimal codebook. In the finite-dimensional setting, we are able to proof for many interesting distributions classical conjectures on the asymptotic behaviour of those properties. Finally, we propose a method to construct sequences of asymptotically optimal codebooks for random elements in infinite dimensional Banach spaces and apply this method to construct codebooks for stochastic processes, such as fractional Brownian Motions.
The Hadamard product of two holomorphic functions which is defined via a convolution integral constitutes a generalization of the Hadamard product of two power series which is obtained by pointwise multiplying their coefficients. Based on the integral representation mentioned above, an associative law for this convolution is shown. The main purpose of this thesis is the examination of the linear and continuous Hadamard convolution operators. These operators map between spaces of holomorphic functions and send - with a fixed function phi - a function f to the convolution of phi and f. The transposed operator is computed and turns out to be a Hadamard convolution operator, too, mapping between spaces of germs of holomorphic functions. The kernel of Hadamard convolution operators is investigated and necessary and sufficient conditions for those operators to be injective or to have dense range are given. In case that the domain of holomorphy of the function phi allows a Mellin transform of phi, certain (generalized) monomials are identified as eigenfunctions of the corresponding operator. By means of this result and some extract of the theory of growth of entire functions, further propositions concerning the injectivity, the denseness of the range or the surjectivity of Hadamard convolution operators are shown. The relationship between Hadamard convolution operators, operators which are defined via the convolution with an analytic functional and differential operators of infinite order is investigated and the results which are obtained in the thesis are put into the research context. The thesis ends with an application of the results to the approximation of holomorphic functions by lacunary polynomials. On the one hand, the question under which conditions lacunary polynomials are dense in the space of all holomorphic functions is investigated and on the other hand, the rate of approximation is considered. In this context, a result corresponding to the Bernstein-Walsh theorem is formulated.
The subject of this thesis is hypercyclic, mixing, and chaotic C0-semigroups on Banach spaces. After introducing the relevant notions and giving some examples the so called hypercyclicity criterion and its relation with weak mixing is treated. Some new equivalent formulations of the criterion are given which are used to derive a very short proof of the well-known fact that a C0-semigroup is weakly mixing if and only if each of its operators is. Moreover, it is proved that under some "regularity conditions" each hypercyclic C0-semigroup is weakly mixing. Furthermore, it is shown that for a hypercyclic C0-semigroup there is always a dense set of hypercyclic vectors having infinitely differentiable trajectories. Chaotic C0-semigroups are also considered. It is proved that they are always weakly mixing and that in certain cases chaoticity is already implied by the existence of a single periodic point. Moreover, it is shown that strongly elliptic differential operators on bounded C^1-domains never generate chaotic C0-semigroups. A thorough investigation of transitivity, weak mixing, and mixing of weighted compositioin operators follows and complete characterisations of these properties are derived. These results are then used to completely characterise hypercyclicity, weak mixing, and mixing of C0-semigroups generated by first order partial differential operators. Moreover, a characterisation of chaos for these C0-semigroups is attained. All these results are achieved on spaces of p-integrable functions as well as on spaces of continuous functions and illustrated by various concrete examples.
Eine ganze Funktion φ heißt T-universell bezüglich einer gegebenen Folge b:={b_{n}\}_{n \in ℕ komplexer Zahlen mit b_{n} \to \infty$, falls eine geeignete Folge φ(z+b_{n_{k}})\}$ additiver Translationen von φ lokal gleichmäßig in ℂ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert. Ferner nennen wir eine ganze Funktion φ, für welche eine geeignete Folge φ{(n_k)}\}$ ihrer Ableitungen lokal gleichmäßig in ℂ gegen jede vorgegebene ganze Funktion konvergiert, ableitungsuniversell. Die Existenz solcher Funktionen wurde von Birkhoff (1929) und MacLane (1952) bzw. Verallgemeinerungen ihrer Ergebnisse gesichert. In dieser Arbeit wird die Konstruktion solcher Funktionen, die zusätzlich auf jeder Geraden beschränkt sind oder Nullstellen an bestimmten vorgegebenen Punkten besitzen, studiert. Im Besonderen stellte sich hierbei heraus, dass die Menge aller bezüglich einer gegebenen Folge b - welche einer gewissen Bedingung genügt - T-universellen Funktionen, die überdies auf jeder Geraden beschränkt sind, zwar dicht, aber nicht residual im Raum aller ganzen Funktionen versehen mit der lokal-gleichmäßigen Topologie ist. Ebenso überraschend ist die Konstruktion von T-universellen Funktionen, welche eine "regelmäßige Nullstellenasymptotik" besitzen.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
Das Konzept der proximalen Mehrschritt-Regularisierung (MSR) auf Folgen von Gittern bei der Lösung inkorrekter Variationsungleichungen wurde von Kaplan und Tichatschke im Jahre 1997 in ihrer Arbeit "Prox-regularization and solution of illposed elliptic variational inequalities" vorgeschlagen und theoretisch motiviert. In demselben Artikel betrachtet man ein allgemeines Problem der partiellen Regularisierung auf einem abgeschlossenen Unterraum. Als Gegenstand der Anwendung solcher Regularisierung können die schlecht gestellten Optimalsteuerprobleme heraustreten, wobei der Unterraum in dem ganzen Prozessraum durch Steuervariablen gebildet wird. Im ersten Kapitel der vorliegenden Dissertation betrachten wir ein abstraktes linear-quadratisches Kontrollproblem in allgemeinen Hilberträumen. Wir diskutieren Voraussetzungen und Bedingungen, unter denen das Kontrollproblem inkorrekt wird. Danach werden zwei allgemeine numerische Verfahren der partiellen Mehrschritt-Regularisierung formuliert. Im ersten Fall untersucht man das MSR-Verfahren, in dem die Zustandsgleichung in einen quadratischen Strafterm eingebettet wird, gemäß der entsprechenden Publikationen von Kaplan und Tichatschke. Im zweiten Fall werden die Ersatzprobleme des MSR-Verfahrens mit exakt erfüllter Zustandsgleichung entwickelt. Im Mittelpunkt sämtlicher Forschungen steht die Konvergenz der approximativen Lösungen von Ersatzproblemen des MSR-Verfahrens gegen ein Element aus der Optimalmenge des Ausgangsproblems. Es stellt sich die Frage: in welchem der genannten Fälle können schwächeren Konvergenzbedingungen für die inneren Approximationen angegeben werden? Um diese Frage aufzuklären, untersuchen wir zwei inkorrekten Kontrollproblme mit elliptischen Zustandsgleichungen und verteilter Steuerung. Das erste Problem kann auf das bekannte Fuller-Problem zurückgeführt werden, für welches eine analytische Lösung mit sogenanntem "chattering regime" existiert und welches ein Basisbeispiel für unsere Aufgaben liefert. Zur Lösung des Fuller-Problems formulieren wir einen MSR-Algorithmus, in dem man mit Fehlern des Strafverfahrens und der FEM-Approximationen rechnen muß. Als Hauptergebnis erhalten wir ein Konvergenzkriterium, das das asymptotische Verhalten von Regularisierungs-, Diskretisierungs- und Strafparametern des MSR-Algorithmus bestimmt. Im letzten Kapitel formulieren wir ein anderes schlecht gestelltes Optimalsteuerproblem mit verteilter Steuerung über dem Polygongebiet. Die Zustandsgleichung wird nun durch ein Poisson-Problem mit gemischten Randbedingungen erzeugt. Solche Aufgabenstellung liefert eine natürliche Erweiterung des auf einer gewöhnlichen Differentialgeichung beruhenden Fuller-Problems auf die Kontrollprobleme mit partiellen Differentialgleichungen. Wir formulieren neuerlich das MSR-Verfahren, in dem man neben dem Diskretisierungsfehler auch einen Berechnungsfehler berücksichtigt. Diesmal verzichten wir aber auf die Straftechniken und stellen die Ersatzprobleme mit exakt erfüllter Zustandsgleichung zusammen. Mit diesem alternativen Zugang und anhand der Falkschen Beweistechniken erhalten wir ein schwächeres und somit auch besseres Konvergenzkriterium für das MSR-Verfahren. Zum Abschluß präsentieren wir Ergebnisse der numerischen Tests, durchgeführt mit dem MSR-Verfahren für ein konkretes Optimalsteuerproblem, dessen Lösung ein zweidimensionales chattering regime aufweist.
Wenn eine stets von Null verschiedene Nullfolge h_n gegeben ist, dann existieren nach einem Satz von Marcinkiewicz stetige Funktionen f vom Intervall [0,1] in die reelle Achse, die in dem Sinne maximal nicht differenzierbar sind, dass zu jeder messbaren Funktion g ein Teilfolge n_k existiert, so dass (f(x+h_n_k)-f(x))/h_n_k fast sicher gegen g konvergiert. Im ersten Teil dieser Arbeit beweisen wir Erweiterungen dieses Satzes im Mehrdimensionalen und Analoga für Funktionen in der komplexen Ebene. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit Operatoren die in enger Beziehung zum Satz von Korovkin über positive lineare Operatoren stehen. Wir zeigen, dass es Operatoren L_n gibt, die jeweils eine der Eigenschaften aus dem Satz von Korovkin nicht erfüllen und gleichzeitig eine residuale Menge von Funktionen f existiert, so dass L_nf nicht nur nicht gegen f konvergiert, sondern sogar dicht im Raum aller stetigen Funktionen des Intervalls [0,1] ist. Ähnliche Phänomene werden bei polynomieller Interpolation untersucht.