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This thesis introduces a calibration problem for financial market models based on a Monte Carlo approximation of the option payoff and a discretization of the underlying stochastic differential equation. It is desirable to benefit from fast deterministic optimization methods to solve this problem. To be able to achieve this goal, possible non-differentiabilities are smoothed out with an appropriately chosen twice continuously differentiable polynomial. On the basis of this so derived calibration problem, this work is essentially concerned about two issues. First, the question occurs, if a computed solution of the approximating problem, derived by applying Monte Carlo, discretizing the SDE and preserving differentiability is an approximation of a solution of the true problem. Unfortunately, this does not hold in general but is linked to certain assumptions. It will turn out, that a uniform convergence of the approximated objective function and its gradient to the true objective and gradient can be shown under typical assumptions, for instance the Lipschitz continuity of the SDE coefficients. This uniform convergence then allows to show convergence of the solutions in the sense of a first order critical point. Furthermore, an order of this convergence in relation to the number of simulations, the step size for the SDE discretization and the parameter controlling the smooth approximation of non-differentiabilites will be shown. Additionally the uniqueness of a solution of the stochastic differential equation will be analyzed in detail. Secondly, the Monte Carlo method provides only a very slow convergence. The numerical results in this thesis will show, that the Monte Carlo based calibration indeed is feasible if one is concerned about the calculated solution, but the required calculation time is too long for practical applications. Thus, techniques to speed up the calibration are strongly desired. As already mentioned above, the gradient of the objective is a starting point to improve efficiency. Due to its simplicity, finite differences is a frequently chosen method to calculate the required derivatives. However, finite differences is well known to be very slow and furthermore, it will turn out, that there may also occur severe instabilities during optimization which may lead to the break down of the algorithm before convergence has been reached. In this manner a sensitivity equation is certainly an improvement but suffers unfortunately from the same computational effort as the finite difference method. Thus, an adjoint based gradient calculation will be the method of choice as it combines the exactness of the derivative with a reduced computational effort. Furthermore, several other techniques will be introduced throughout this thesis, that enhance the efficiency of the calibration algorithm. A multi-layer method will be very effective in the case, that the chosen initial value is not already close to the solution. Variance reduction techniques are helpful to increase accuracy of the Monte Carlo estimator and thus allow for fewer simulations. Storing instead of regenerating the random numbers required for the Brownian increments in the SDE will be efficient, as deterministic optimization methods anyway require to employ the identical random sequence in each function evaluation. Finally, Monte Carlo is very well suited for a parallelization, which will be done on several central processing units (CPUs).
The subject of this thesis is a homological approach to the splitting theory of PLS-spaces, i.e. to the question for which topologically exact short sequences 0->X->Y->Z->0 of PLS-spaces X,Y,Z the right-hand map admits a right inverse. We show that the category (PLS) of PLS-spaces and continuous linear maps is an additive category in which every morphism admits a kernel and a cokernel, i.e. it is pre-abelian. However, we also show that it is neither quasi-abelian nor semi-abelian. As a foundation for our homological constructions we show the more general result that every pre-abelian category admits a largest exact structure in the sense of Quillen. In the pre-abelian category (PLS) this exact structure consists precisely of the topologically exact short sequences of PLS-spaces. Using a construction of Ext-functors due to Yoneda, we show that one can define for each PLS-space A and every natural number k the k-th abelian-group valued covariant and contravariant Ext-functors acting on the category (PLS) of PLS-spaces, which induce for every topologically exact short sequence of PLS-spaces a long exact sequence of abelian groups and group morphisms. These functors are studied in detail and we establish a connection between the Ext-functors of PLS-spaces and the Ext-functors for LS-spaces. Through this connection we arrive at an analogue of a result for Fréchet spaces which connects the first derived functor of the projective limit with the first Ext-functor and also gives sufficient conditions for the vanishing of the higher Ext-functors. Finally, we show that Ext^k(E,F) = 0 for a k greater or equal than 1, whenever E is a closed subspace and F is a Hausdorff-quotient of the space of distributions, which generalizes a result of Wengenroth that is itself a generalization of results due to Domanski and Vogt.
Large scale non-parametric applied shape optimization for computational fluid dynamics is considered. Treating a shape optimization problem as a standard optimal control problem by means of a parameterization, the Lagrangian usually requires knowledge of the partial derivative of the shape parameterization and deformation chain with respect to input parameters. For a variety of reasons, this mesh sensitivity Jacobian is usually quite problematic. For a sufficiently smooth boundary, the Hadamard theorem provides a gradient expression that exists on the surface alone, completely bypassing the mesh sensitivity Jacobian. Building upon this, the gradient computation becomes independent of the number of design parameters and all surface mesh nodes are used as design unknown in this work, effectively allowing a free morphing of shapes during optimization. Contrary to a parameterized shape optimization problem, where a smooth surface is usually created independently of the input parameters by construction, regularity is not preserved automatically in the non-parametric case. As part of this work, the shape Hessian is used in an approximative Newton method, also known as Sobolev method or gradient smoothing, to ensure a certain regularity of the updates, and thus a smooth shape is preserved while at the same time the one-shot optimization method is also accelerated considerably. For PDE constrained shape optimization, the Hessian usually is a pseudo-differential operator. Fourier analysis is used to identify the operator symbol both analytically and discretely. Preconditioning the one-shot optimization by an appropriate Hessian symbol is shown to greatly accelerate the optimization. As the correct discretization of the Hadamard form usually requires evaluating certain surface quantities such as tangential divergence and curvature, special attention is also given to discrete differential geometry on triangulated surfaces for evaluating shape gradients and Hessians. The Hadamard formula and Hessian approximations are applied to a variety of flow situations. In addition to shape optimization of internal and external flows, major focus lies on aerodynamic design such as optimizing two dimensional airfoils and three dimensional wings. Shock waves form when the local speed of sound is reached, and the gradient must be evaluated correctly at discontinuous states. To ensure proper shock resolution, an adaptive multi-level optimization of the Onera M6 wing is conducted using more than 36, 000 shape unknowns on a standard office workstation, demonstrating the applicability of the shape-one-shot method to industry size problems.
Die vorliegende Arbeit untersucht zwei grundlegende Fragestellungen im Hinblick auf den Betrieb von Genbanken als Beitrag zur Sicherung der genetischen Diversität. Das erste Kapitel behandelt aus rechtlicher Sicht die juristischen Fragen nach dem Zugang zu genetischen Ressourcen, nach dem Ausgleich aus der Nutzung entstehender Vorteile (Access and Benefit Sharing, ABS) und nach den Möglichkeiten des Handels mit Proben gefährdeter Tierarten, dies sowohl im Hinblick auf die rein wissenschaftliche Forschung als auch in Bezug auf kommerziell orientierte Zwecke. Grundlegend für die Bearbeitung dieser Fragen war die detaillierte Betrachtung des Übereinkommens über die biologische Vielfalt (CBD) und des Übereinkommens über den internationalen Handel mit gefährdeten Arten freilebender Tiere und Pflanzen (CITES). Da das CBD im Hinblick auf den Zugang zu genetischen Ressourcen in der Bundesrepublik Deutschland bisher nicht umgesetzt ist, bleibt dem Betreiber einer Genbank zur rechtlichen Absicherung und Klarheit nur die Aushandlung von Materialübertragungsverträgen mit den Ursprungsländern der genetischen Ressourcen. Der nachfolgende Handel mit gelagerten Proben gefährdeter Tierarten ist möglich, wenn dies nicht-kommerziell zur wissenschaftlichen Forschung erfolgt und die beteiligten Institutionen bei ihren Regierungen als wissenschaftliche Institutionen registriert sind. Bei kommerziellen Absichten unterliegt der Handel streng den durch das CITES vorgegebenen Regulierungen. Ausnahmen des Handelsverbotes sind möglich, z.B. dann wenn es sich um Proben von Tieren handelt, die in Gefangenschaft gezüchtet worden sind. Das zweite Kapitel behandelt aus naturwissenschaftlicher Sicht die Möglichkeit der direkten Gewinnung genetischer Materialien von Tieren. Hierbei wurde die Isolierung adulter Stammzellen aus der Haut von Säugetieren als Zielzellen zur Lagerung in Genbanken fokussiert. Am Modellorganismus Hausschwein (Sus scrofa domestica) wurde eine Methode zur Isolation adulter stammzellähnlicher Zellen aus der Haut etabliert. Durch nachfolgende Laborversuche wurden die isolierten stammzellähnlichen Zellen (pSSCs, porcine skin derived stem cell-like cells) charakterisiert. Wie mesenchymale Stammzellen haben pSSCs eine fibroblasten-ähnliche Morphologie und exprimieren die Oberflächenproteine CD9, CD29, CD44 , CD105 und sehr gering CD90. Neben diesen konnte die Expression der stammzellasoziierten Gene Stat3, Oct3/4, Sox2, Nestin, Bcrp1/ABCG2 und Bmi1 nachgewiesen werden. Weitere Versuche zeigten die induzierte Differenzierung der pSSCs zu Zellen zweier embryonaler Keimblätter, dem Ektoderm (Neuronen, Astrozyten) und dem Mesoderm (glatte Muskelzellen und Adipozyten). Zur vollständigen Charakterisierung und gänzlichen Ermittlung des Differenzierungspotentials bedarf es allerdings weiterer Versuche, die wegen der Kostspieligkeit und einem erhöhten zeitlichen Aufwand hier nicht realisierbar waren. Die Expansion und die Kryokonservierung der pSSCs zeigten geringfügige Auswirkungen auf den Phänotyp und das Differenzierungspotential. In Bezug auf die Kryokonservierung konnte wegen der geringen Anzahl an Versuchen eine definitive Aussage über ihre Folgen nicht getroffen werden. Folglich bedarf es weiterer Untersuchungen zur Ermittlung der Auswirkungen der Kryokonservierung auf adulte Stammzellen, die aus der Haut gewonnen werden können. Durch ihre Lagerung in Genbanken eröffnen aus der Haut isolierbare Stammzellen neue Möglichkeiten für den Artenschutz, dies vor allem durch ihre Anwendbarkeit im Rahmen modernster Reproduktionsmethoden und als nahezu unendliche DNA-Quelle für phylogenetische Studien, die zum Populationsmanagement unerlässlich sind. Trotz der sich aus dieser Arbeit ergebenden neuen Fragen - im Hinblick auf den Zugang, die Gewinnung und auch die Lagerung genetischer Materialien gefährdeter Tierarten -, bleibt festzuhalten, dass Genbanken generell die Möglichkeit bieten, vitales, biologisches Material bereitzuhalten. Dies ist sowohl bedeutend für die Grundlagenforschung als auch für den Einsatz dieser Materialien zur Steigerung der Reproduktion gefährdeter Arten, letztlich mit dem Ziel, genetische Variationen zu erhalten, die anderenfalls verloren gehen würden.