510 Mathematik
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We will consider discrete dynamical systems (X,T) which consist of a state space X and a linear operator T acting on X. Given a state x in X at time zero, its state at time n is determined by the n-th iteration T^n(x). We are interested in the long-term behaviour of this system, that means we want to know how the sequence (T^n (x))_(n in N) behaves for increasing n and x in X. In the first chapter, we will sum up the relevant definitions and results of linear dynamics. In particular, in topological dynamics the notions of hypercyclic, frequently hypercyclic and mixing operators will be presented. In the setting of measurable dynamics, the most important definitions will be those of weakly and strongly mixing operators. If U is an open set in the (extended) complex plane containing 0, we can define the Taylor shift operator on the space H(U) of functions f holomorphic in U as Tf(z) = (f(z)- f(0))/z if z is not equal to 0 and otherwise Tf(0) = f'(0). In the second chapter, we will start examining the Taylor shift on H(U) endowed with the topology of locally uniform convergence. Depending on the choice of U, we will study whether or not the Taylor shift is weakly or strongly mixing in the Gaussian sense. Next, we will consider Banach spaces of functions holomorphic on the unit disc D. The first section of this chapter will sum up the basic properties of Bergman and Hardy spaces in order to analyse the dynamical behaviour of the Taylor shift on these Banach spaces in the next part. In the third section, we study the space of Cauchy transforms of complex Borel measures on the unit circle first endowed with the quotient norm of the total variation and then with a weak-* topology. While the Taylor shift is not even hypercyclic in the first case, we show that it is mixing for the latter case. In Chapter 4, we will first introduce Bergman spaces A^p(U) for general open sets and provide approximation results which will be needed in the next chapter where we examine the Taylor shift on these spaces on its dynamical properties. In particular, for 1<=p<2 we will find sufficient conditions for the Taylor shift to be weakly mixing or strongly mixing in the Gaussian sense. For p>=2, we consider specific Cauchy transforms in order to determine open sets U such that the Taylor shift is mixing on A^p(U). In both sections, we will illustrate the results with appropriate examples. Finally, we apply our results to universal Taylor series. The results of Chapter 5 about the Taylor shift allow us to consider the behaviour of the partial sums of the Taylor expansion of functions in general Bergman spaces outside its disc of convergence.
In recent years, the study of dynamical systems has developed into a central research area in mathematics. Actually, in combination with keywords such as "chaos" or "butterfly effect", parts of this theory have been incorporated in other scientific fields, e.g. in physics, biology, meteorology and economics. In general, a discrete dynamical system is given by a set X and a self-map f of X. The set X can be interpreted as the state space of the system and the function f describes the temporal development of the system. If the system is in state x ∈ X at time zero, its state at time n ∈ N is denoted by f^n(x), where f^n stands for the n-th iterate of the map f. Typically, one is interested in the long-time behaviour of the dynamical system, i.e. in the behaviour of the sequence (f^n(x)) for an arbitrary initial state x ∈ X as the time n increases. On the one hand, it is possible that there exist certain states x ∈ X such that the system behaves stably, which means that f^n(x) approaches a state of equilibrium for n→∞. On the other hand, it might be the case that the system runs unstably for some initial states x ∈ X so that the sequence (f^n(x)) somehow shows chaotic behaviour. In case of a non-linear entire function f, the complex plane always decomposes into two disjoint parts, the Fatou set F_f of f and the Julia set J_f of f. These two sets are defined in such a way that the sequence of iterates (f^n) behaves quite "wildly" or "chaotically" on J_f whereas, on the other hand, the behaviour of (f^n) on F_f is rather "nice" and well-understood. However, this nice behaviour of the iterates on the Fatou set can "change dramatically" if we compose the iterates from the left with just one other suitable holomorphic function, i.e. if we consider sequences of the form (g∘f^n) on D, where D is an open subset of F_f with f(D)⊂ D and g is holomorphic on D. The general aim of this work is to study the long-time behaviour of such modified sequences. In particular, we will prove the existence of holomorphic functions g on D having the property that the behaviour of the sequence of compositions (g∘f^n) on the set D becomes quite similarly chaotic as the behaviour of the sequence (f^n) on the Julia set of f. With this approach, we immerse ourselves into the theory of universal families and hypercyclic operators, which itself has developed into an own branch of research. In general, for topological spaces X, Y and a family {T_i: i ∈ I} of continuous functions T_i:X→Y, an element x ∈ X is called universal for the family {T_i: i ∈ I} if the set {T_i(x): i ∈ I} is dense in Y. In case that X is a topological vector space and T is a continuous linear operator on X, a vector x ∈ X is called hypercyclic for T if it is universal for the family {T^n: n ∈ N}. Thus, roughly speaking, universality and hypercyclicity can be described via the following two aspects: There exists a single object which allows us, via simple analytical operations, to approximate every element of a whole class of objects. In the above situation, i.e. for a non-linear entire function f and an open subset D of F_f with f(D)⊂ D, we endow the space H(D) of holomorphic functions on D with the topology of locally uniform convergence and we consider the map C_f:H(D)→H(D), C_f(g):=g∘f|_D, which is called the composition operator with symbol f. The transform C_f is a continuous linear operator on the Fréchet space H(D). In order to show that the above-mentioned "nice" behaviour of the sequence of iterates (f^n) on the set D ⊂ F_f can "change dramatically" if we compose the iterates from the left with another suitable holomorphic function, our aim consists in finding functions g ∈ H(D) which are hypercyclic for C_f. Indeed, for each hypercyclic function g for C_f, the set of compositions {g∘f^n|_D: n ∈ N} is dense in H(D) so that the sequence of compositions (g∘f^n|_D) is kind of "maximally divergent" " meaning that each function in H(D) can be approximated locally uniformly on D via subsequences of (g∘f^n|_D). This kind of behaviour stands in sharp contrast to the fact that the sequence of iterates (f^n) itself converges, behaves like a rotation or shows some "wandering behaviour" on each component of F_f. To put it in a nutshell, this work combines the theory of non-linear complex dynamics in the complex plane with the theory of dynamics of continuous linear operators on spaces of holomorphic functions. As far as the author knows, this approach has not been investigated before.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
Das erste Beispiel einer so genannten universellen holomorphen Funktion stammt von Birkhoff, welcher im Jahre 1929 die Existenz einer ganzen Funktion beweisen konnte, die gewissermaßen jede ganze Funktion durch geeignete Translationen approximieren kann. In der Folgezeit hat sich der Bereich der "universellen Approximation" zu einem eigenständigen Gebiet innerhalb der komplexen Approximationstheorie entwickelt, und es gibt eine Vielzahl an Ergebnissen über universelle Funktionen. Hierbei wurde sich allerdings fast ausschließlich auf das Studium holomorpher und ganzer Funktionen beschränkt, insbesondere die Klasse der meromorphen Funktionen wurde bisher kaum auf das Phänomen der Universalität hin untersucht. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit universeller meromorpher Approximation, und geht der Fragestellung nach, ob meromorphe Funktionen mit gewissen Universalitätseigenschaften existieren, und ob die klassischen Ergebnisse aus der universellen holomorphen Approximation auf den meromorphen Fall erweiterbar sind. Hierbei wird zunächst zwischen Translations- und Streckungsuniversalität unterschieden und bewiesen, dass in beiden Fällen jeweils eine im Raum der meromorphen Funktionen residuale Menge an universellen Funktionen existiert. Weiterhin werden die Eigenschaften dieser Funktionen ausführlich studiert. Anschließend werden meromorphe Funktionen auf Ableitungsuniversalität hin untersucht. Hierbei wird einerseits gezeigt, dass im Allgemeinen keine positiven Ergebnisse möglich sind, während andererseits eine spezielle Klasse meromorpher Funktionen betrachtet wird, für welche universelles Verhalten der sukzessiven Ableitungen nachgewiesen werden kann.
The thesis studies the question how universal behavior is inherited by the Hadamard product. The type of universality that is considered here is universality by overconvergence; a definition will be given in chapter five. The situation can be described as follows: Let f be a universal function, and let g be a given function. Is the Hadamard product of f and g universal again? This question will be studied in chapter six. Starting with the Hadamard product for power series, a definition for a more general context must be provided. For plane open sets both containing the origin this has already been done. But in order to answer the above question, it becomes necessary to have a Hadamard product for functions that are not holomorphic at the origin. The elaboration of such a Hadamard product and its properties are the second central part of this thesis; chapter three will be concerned with them. The idea of the definition of such a Hadamard product will follow the case already known: The Hadamard product will be defined by a parameter integral. Crucial for this definition is the choice of appropriate integration curves; these will be introduced in chapter two. By means of the Hadamard product- properties it is possible to prove the Hadamard multiplication theorem and the Borel-Okada theorem. A generalization of these theorems will be presented in chapter four.
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der konstruktiven und generischen Gewinnung universeller Funktionen. Unter einer universellen Funktion verstehen wie dabei eine solche holomorphe Funktion, die in gewissem Sinne ganze Klassen von Funktionen enthält. Die konstruktive Methode beinhaltet die explizite Konstruktion einer universellen Funktion über einen Grenzprozess, etwa als Polynomreihe. Die generische Methode definiert zunächst rein abstrakt die jeweils gewünschte Klasse von universellen Funktionen. Mithilfe des Baireschen Dichtesatzes wird dann gezeigt, dass die Klasse dieser Funktionen nicht nur nichtleer, sondern sogar G_delta und dicht in dem betrachteten Funktionenraum ist. Beide Methoden bedienen sich der Approximationssätze von Runge und von Mergelyan. Die Hauptergebnisse sind die folgenden: (1) Wir haben konstruktiv die Existenz von universellen Laurentreihen auf mehrfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen. Zusätzlich haben wir gezeigt, dass die Menge solcher universeller Laurentreihen dicht im Raum der auf dem betrachteten Gebiet holomorphen Funktionen ist. (2) Die Existenz von universellen Faberreihen auf gewissen Gebieten wurde sowohl konstruktiv als auch generisch bewiesen. (3) Zum einen haben wir konstruktiv gezeigt, dass es so genannte ganze T-universelle Funktionen mit vorgegebenen Approximationswegen gibt. Die Approximationswege sind durch eine hinreichend variable funktionale Form vorgegeben. Die Menge solcher Funktionen ist im Raum der ganzen Funktionen eine dichte G_delta-Menge. Zum anderen haben wir generisch die Existenz von auf einem beschränkten Gebiet T-universellen Funktionen bezüglich gewisser vorgegebener Approximationswege bewiesen. Die Approximationswege sind auch hier genügend allgemein.
