Hadamard convolution operators on spaces of holomorphic functions

Hadamardsche Faltungsoperatoren auf Räumen holomorpher Funktionen

• The Hadamard product of two holomorphic functions which is defined via a convolution integral constitutes a generalization of the Hadamard product of two power series which is obtained by pointwise multiplying their coefficients. Based on the integral representation mentioned above, an associative law for this convolution is shown. The main purpose of this thesis is the examination of the linear and continuous Hadamard convolution operators. These operators map between spaces of holomorphic functions and send - with a fixed function phi - a function f to the convolution of phi and f. The transposed operator is computed and turns out to be a Hadamard convolution operator, too, mapping between spaces of germs of holomorphic functions. The kernel of Hadamard convolution operators is investigated and necessary and sufficient conditions for those operators to be injective or to have dense range are given. In case that the domain of holomorphy of the function phi allows a Mellin transform of phi, certain (generalized) monomials are identified as eigenfunctions of the corresponding operator. By means of this result and some extract of the theory of growth of entire functions, further propositions concerning the injectivity, the denseness of the range or the surjectivity of Hadamard convolution operators are shown. The relationship between Hadamard convolution operators, operators which are defined via the convolution with an analytic functional and differential operators of infinite order is investigated and the results which are obtained in the thesis are put into the research context. The thesis ends with an application of the results to the approximation of holomorphic functions by lacunary polynomials. On the one hand, the question under which conditions lacunary polynomials are dense in the space of all holomorphic functions is investigated and on the other hand, the rate of approximation is considered. In this context, a result corresponding to the Bernstein-Walsh theorem is formulated.
• Das über ein Faltungsintegral definierte Hadamardprodukt zweier holomorpher Funktionen ist eine Verallgemeinerung des Hadamardproduktes zweier Potenzreihen, welches durch punktweise Multiplikation ihrer Koeffizienten entsteht. Ausgehend von der angesprochenen Integraldarstellung wird ein Assoziativitätsgesetz für dieses Faltungsprodukt gezeigt. Im weiteren Verlauf werden die linearen und stetigen Hadamardschen Faltungsoperatoren betrachtet. Diese operieren zwischen Räumen holomorpher Funktionen und ordnen - bei Fixierung einer Funktion phi - einer Funktion f das Hadamardsche Faltungsprodukt von phi und f zu. Der transponierte Operator wird berechnet und ist ebenfalls ein Hadamardscher Faltungsoperator, nun allerdings auf Keimen holomorpher Funktionen operierend. Des Weiteren wird der Kern Hadamardscher Faltungsoperatoren betrachtet und es werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben, dass solche Operatoren injektiv sind oder dichtes Bild haben. Im Falle, dass das Holomorphiegebiet der Funktion phi eine Mellin-Transformierte von phi zulässt, werden (geeignet verallgemeinerte) Monome als Eigenfunktionen des Faltungsoperators erkannt. Mit Hilfe dieses Resultats und Ergebnissen aus der Theorie des Wachstums ganzer Funktionen werden weitere Aussagen über die Injektivität, die Dichtheit des Bildes oder die Surjektivität der Faltungsoperatoren gezeigt. Die Verbindung zwischen Hadamardschen Faltungsoperatoren, Operatoren, die durch Faltung mit einem analytischen Funktional definiert sind, und Differentialoperatoren unendlicher Ordnung wird dargelegt und die erzielten Ergebnisse werden in den Forschungskontext eingeordnet. Die Arbeit schließt ab mit der Anwendung der Resultate über Hadamardsche Faltungsoperatoren auf Fragen der Approximation holomorpher Funktionen durch Lückenpolynome. Hierbei wird sowohl die Frage behandelt, unter welchen Bedingungen Lückenpolynome dicht sind im Raum der holomorphen Funktionen, als auch auf die Frage eingegangen, mit welcher Geschwindigkeit eine Approximation durchgeführt werden kann. Dabei wird ein Resultat formuliert, welches als Analogon zum Satz von Bernstein-Walsh interpretiert werden kann.