Martin Reinhard

• Considering the numerical simulation of mathematical models it is necessary to have efficient methods for computing special functions. We will focus our considerations in particular on the classes of Mittag-Leffler and confluent hypergeometric functions. The PhD Thesis can be structured in three parts. In the first part, entire functions are considered. If we look at the partial sums of the Taylor series with respect to the origin we find that they typically only provide a reasonable approximation of the function in a small neighborhood of the origin. The main disadvantages of these partial sums are the cancellation errors which occur when computing in fixed precision arithmetic outside this neighborhood. Therefore, our aim is to quantify and then to reduce this cancellation effect. In the next part we consider the Mittag-Leffler and the confluent hypergeometric functions in detail. Using the method we developed in the first part, we can reduce the cancellation problems by "modifying" the functions for several parts of the complex plane. Finally, in in the last part two other approaches to compute Mittag-Leffler type and confluent hypergeometric functions are discussed. If we want to evaluate such functions on unbounded intervals or sectors in the complex plane, we have to consider methods like asymptotic expansions or continued fractions for large arguments z in modulus.
• In der Dissertation wird sich mit Verfahren zur numerischen Berechnung gewisser spezieller Funktionen befasst. Genauer geht es dabei um Funktionen aus der Familie der Mittag-Leffler- und der Familie der hypergeometrischen Funktionen. Die Arbeit läßt sich in drei Teile gliedern. Im ersten Teil geht es um Quantifizierung und Reduktion von Auslöschungsfehlern bei der Verwendung von Taylor-Teilsummen bei der Berechnung ganzer Funktionen. Im zweiten Teil geht es um die Anwendung der im Teil 1 entwickelten Verfahren auf die Familie der Mittag-Leffler- und die Familie der hypergeometrischen Funktionen. Im dritten Teil werden alternative Methoden zur numerischen Auswertung obiger spezieller Funktionen vorgestellt, die für betragsgroße z geeignet sind. Dabei geht es um asymptotischen Entwicklungen und Kettenbruchentwicklungen.