Extension of inexact Kleinman-Newton methods to a general monotonicity preserving convergence theory
Erweiterung von inexakten Kleinman-Newton Methoden zu einer allgemeinen Monotonie bewahrenden Konvergenztheorie
- The thesis at hand considers inexact Newton methods in combination with algebraic Riccati equation. A monotone convergence behaviour is proven, which enables a non-local convergence. Above relation is transferred to a general convergence theory for inexact Newton methods securing the monotonicity of the iterates for convex or concave mappings. Several application prove the pratical benefits of the new developed theory.
- Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit inexakten Newton Verfahren, die auf algebraische Riccati Gleichungen angewendet werden. In diesem speziellen Fall liefert das Newton Verfahren monotone Iterierte und konvergiert in einer globaleren Weise als erwartet. Ein zentrales Ziel der Arbeit besteht darin, Vorraussetzungen an die inexakte Methode zu entwickeln, um ein äquivalentes Konvergenzverhalten zu gewährleisten. Zudem werden inexakte Verfahren mit einer linearen, superlinearen und quadratischen Rate der lokalen Konvergenz präsentiert. Dadurch, dass man bei dem inexakten Newton Verfahren die einzelnen Newton Schritte häufig früher abbrechen kann, gewinnt man einen großen Vorteil in der benötigten Rechenzeit. Dies wird an verschiedenen Beispielen verdeutlicht. Ein weiterer Schwerpunkt der Arbeit liegt in der Untersuchung einer alternativen Implementierung der Newton Methode für algebraische Riccati Gleichungen. Diese weist in der Praxis häufig Instabilitäten auf, die mit Hilfe von inexakten Newton Verfahren erklärt werden können. Die Erkenntnisse, welche aus der Arbeit mit Riccati Gleichungen gewonnen werden, führen zu einer Erweiterung der allgemeinen Konvergenztheorie für das inexakte Newton Verfahren. Unter bestimmten Bedingungen an die betrachtete Funktion und den zugrunde liegenden Raum, sichert diese Erweiterung die monotone Konvergenz der Iterierten und als Konsequenz den größeren Konvergenzradius. Zahlreiche Beispiele erfüllen die Anforderungen der Theorie und werden als Anwendungen aufgeführt. Darunter fallen unter anderem nicht symmetische Riccati Gleichungen, Riccati Gleichungen aus der stochastischen Optimierung und Anwendungen aus der Quasilinearisierungstechnik.
