Efficient Large Scale Aerodynamic Design Based on Shape Calculus

Effiziente Hochdimensionale Aerodynamische Formoptimierung

  • Large scale non-parametric applied shape optimization for computational fluid dynamics is considered. Treating a shape optimization problem as a standard optimal control problem by means of a parameterization, the Lagrangian usually requires knowledge of the partial derivative of the shape parameterization and deformation chain with respect to input parameters. For a variety of reasons,rnthis mesh sensitivity Jacobian is usually quite problematic. For a sufficiently smooth boundary, the Hadamard theorem provides a gradient expression that exists on the surface alone, completely bypassing the mesh sensitivity Jacobian. Building upon this, the gradient computation becomes independent of the number of design parameters and all surface mesh nodes are used as designrnunknowns in this work, effectively allowing a free morphing of shapes during optimization. Contrary to a parameterized shape optimization problem, where a smooth surface is usually created independently of the input parameters by construction, regularity is not preserved automatically in the non-parametric case. As part of this work, the shape Hessian is used in an approximative Newton method, also known as Sobolev method or gradient smoothing, to ensure a certain regularity of the updates, and thus a smooth shape is preserved while at the same time the one-shot optimization method is also accelerated considerably. For PDE constrained shape optimization, the Hessian usually is a pseudo-differential operator. Fourier analysis is used to identify the operatorrnsymbol both analytically and discretely. Preconditioning the one-shot optimization by an appropriate Hessian symbol is shown to greatly accelerate the optimization. As the correct discretization of the Hadamard form usually requires evaluating certain surface quantities such as tangential divergence and curvature, special attention is also given to discrete differential geometry on triangulated surfaces for evaluating shape gradients and Hessians.rnThe Hadamard formula and Hessian approximations are applied to a variety of flow situations. In addition to shape optimization of internal and external flows, major focus lies on aerodynamic design such as optimizing two dimensional airfoils and three dimensional wings. Shock waves form whenrnthe local speed of sound is reached, and the gradient must be evaluated correctly at discontinuous states. To ensure proper shock resolution, an adaptive multi-level optimization of the Onera M6 wing is conducted using more than 36, 000 shape unknowns on a standard office workstation, demonstrating the applicability of the shape-one-shot method to industry size problems.
  • Der Gegenstand dieser Arbeit ist die hochdimensionale nicht-parametrische angewandte Formoptimierung für die numerische Strömungssimulation. Wird ein Formoptimierungsproblem durch eine Parametrisierung wie ein gewöhnliches nichtlineares Optimierungsproblem behandelt, so benötigt die Lagrange"Funktion Kenntnis der partiellen Ableitungen der Parametrisierung und der Deformationskette bezüglich der Eingabeparameter. Aus verschiedensten Gründen sind diese Mesh- oder Metriksensitivitäten für gewöhnlich sehr problematisch. Für eine hinreichend glatte Oberfläche bietet das Hadamard"Theorem einen Ausdruck für den Gradienten, welcher ausschließlich auf der Oberfläche der Form existiert und die Metriksensitivitäten komplett umgeht. Darauf aufbauend wirdrndie Berechnung des Gradienten unabhängig von der Anzahl der Variablen und im Rahmen dieser Arbeit werden alle Oberflächenknoten des Gitters als Unbekannte benutzt, wodurch effektiv ein freies Morphing der Form während der Optimierung ermöglicht wird. Im Gegensatz zu einem parametrisierten Formoptimierungsproblem, bei dem die Glattheit der Oberfläche fast immer unabhängig von den Eingabeparametern entsprechend der Konstruktion der Parameterisierung gewährleistet ist, muss die Regularität bei dem nicht-parametrischen Ansatz nicht zwingend erhalten bleiben. In dieser Arbeit wird die Hesse"Abbildung des Formoptimierungsproblems in einem approximativen Newton"Verfahren, auch bekannt als Sobolev"Verfahren oder Gradientenglätten, genutzt, um die Regularität der Updates sicherzustellen und somit eine glatternOberfläche zu erhalten, wodurch gleichzeitig die Optimierung in One-Shot deutlich beschleunigt wird. Für Optimierungsprobleme mit PDEs ist die Hesse"Abbildung gewöhnlich ein Pseudo-Differentialoperator. Fourieranalysis wird benutzt, um das Symbol des Operators sowohl analytisch als auch diskret zu bestimmen. Es wird gezeigt, wie eine Präkonditionierung des One-Shot Verfahrensrndurch ein entsprechendes Symbol der Hesse"Abbildung die Optimierung stark beschleunigt. Da die korrekte Diskretisierung der Hadamard"Form für gewöhnlich die Auswertung von Oberflächengrößen wie Tangentialdivergenz oder Krümmung benötigt, liegt besonderes Augenmerk auf diskreter Differentialgeometrie zur Auswertung des Formgradienten und der Hesse"Abbildung auf unstrukturierten, triangulierten Oberflächen. Die Hadamard"Form und die Hesse"Approximationen werden auf eine Vielfalt von Strömungssituationen angewendet. Neben der Formoptimierung von internen und externen Strömungen liegt der eigentliche Anwendungsschwerpunkt im aerodynamischen Entwurf, zum Beispiel die Optimierung zweidimensionaler Profilquerschnitte und dreidimensionaler Flügel. Schockwellen bilden sich aus, wenn die lokale Schallgeschwindigkeit erreicht wird, und der Gradient muss an einem unstetigen Zustand richtig ausgewertet werden. Um eine korrekte Auflösung der Schockwelle zu gewährleisten, wird eine adaptive multi-level Optimierung am Onera M6 Flügel mit mehr als 36.000 Unbekannten auf einer gewöhnlichen Workstation durchgeführt, was auch die Anwendbarkeit derrnMethodik auf Probleme industriellen Ausmaßes demonstriert.

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Metadaten
Author:Stephan Schmidt
URN:urn:nbn:de:hbz:385-5695
Advisor:Volker Schulz
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2010/04/20
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2010/03/12
Release Date:2010/04/20
Tag:Aerodynamic Design; One-Shot; Shape Optimization; Shape SQP Methods
GND Keyword:Gestaltoptimierung; Numerische Strömungssimulation; Partielle Differentialgleichung; Sequentielle quadratische Optimierung
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Mxx Numerical methods [See also 90Cxx, 65Kxx] / 49M25 Discrete approximations
49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Qxx Manifolds [See also 58Exx] / 49Q10 Optimization of shapes other than minimal surfaces [See also 90C90]
49-XX CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL; OPTIMIZATION [See also 34H05, 34K35, 65Kxx, 90Cxx, 93-XX] / 49Qxx Manifolds [See also 58Exx] / 49Q12 Sensitivity analysis
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Kxx Mathematical programming, optimization and variational techniques / 65K10 Optimization and variational techniques [See also 49Mxx, 93B40]
76-XX FLUID MECHANICS (For general continuum mechanics, see 74Axx, or other parts of 74-XX) / 76Dxx Incompressible viscous fluids / 76D55 Flow control and optimization [See also 49Q10, 93C20, 93C95]
76-XX FLUID MECHANICS (For general continuum mechanics, see 74Axx, or other parts of 74-XX) / 76Nxx Compressible fluids and gas dynamics, general / 76N25 Flow control and optimization

$Rev: 13581 $