Applications of the Adjoint Method in Stochastic Financial Modelling

Die Anwendung der adjungierten Methode bei stochastischen Finanzmarktmodellen

  • This thesis is divided into three main parts: The description of the calibration problem, the numerical solution of this problem and the connection to optimal stochastic control problems. Fitting model prices to given market prices leads to an abstract least squares formulation as calibration problem. The corresponding option price can be computed by solving a stochastic differential equation via the Monte-Carlo method which seems to be preferred by most practitioners. Due to the fact that the Monte-Carlo method is expensive in terms of computational effort and requires memory, more sophisticated stochastic predictor-corrector schemes are established in this thesis. The numerical advantage of these predictor-corrector schemes ispresented and discussed. The adjoint method is applied to the calibration. The theoretical advantage of the adjoint method is discussed in detail. It is shown that the computational effort of gradient calculation via the adjoint method is independent of the number of calibration parameters. Numerical results confirm the theoretical results and summarize the computational advantage of the adjoint method. Furthermore, provides the connection to optimal stochastic control problems is proven in this thesis.rn
  • Die Bestimmung des fairen Preises eines Finanzkontraktes ist im Angesicht einerseits des wachsenden Marktes, andererseits der zunehmenden Komplexität von exotischen Optionen ein wesentlicher Bestandteil der Finanzmathematik. Der faire Preis ist maßgeblich von der Auszahlfunktion, die durch den Finanzkontrakt vorgegeben ist, und dem Finanzmarktmodell des Basiswertes, das von den Marktteilnehmern bestimmt wird, abhängig. Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Finanzmarktmodell, das die Bewegungen des Marktes widerspiegelt, so zu bestimmen, dass es zu beobachteten Marktpreisen passt. Diesen Vorgang, der mathematisch zu einem kleinsten Quadrate Problem führt, nennt man Kalibrierung. In dieser Arbeit werden stochastische Finanzmarktmodelle, wie das einflussreiche Black-Scholes Modell oder das Heston Modell, betrachtet. Dabei spielt die Monte-Carlo Methode eine wichtige Rolle, bei der die Ausgänge einer Vielzahl von Simulationen, den sogenannten Monte-Carlo Simulationen, gemittelt werden. Diese Methode hat einen hohen Rechenaufwand und kann eine große Menge an Speicherplatz verbrauchen. Daher ist der erste Ansatz dieser Dissertationsschrift, genau diesen Rechenaufwand zunächst durch verbesserte Simulationsmethoden, den sogenannten stochastischen Prädiktor-Korrektor Verfahren, zu verringern. Die numerischen Ergebnisse dieser Arbeit bestätigen diese Verbesserung.rn rnNeben dem Aufwand der Monte-Carlo Simulationen ist bei einer Gradienten-basierenden Kalibrierung vor allem die Berechnung des Gradienten bezüglich der zu bestimmenden Parameter bei der herkömmlichen Finiten-Differenzen Methode von hoher Komplexität, insbesondere, wenn die Anzahl der Parameter des Finanzmarktmodells hoch ist. Um diesen hohen Rechenaufwand zu umgehen, wird in dieser Arbeit die adjungierten Methode zur Berechnung des Gradienten verwendet. Zunächst wird diese adjungierten Methode im Allgemeinen vorgestellt und deren Anwendbarkeit auf das konkrete Kalibrierungsproblem des stochastischen Finanzmarktmodells gezeigt. Danach wird deren Implementierung ausgearbeitet und die numerischen Ergebnisse diskutiert. Dabei stellt sich heraus, dass die Kombination aus verbesserten Simulationsmethoden und der adjungierten Methode zu einer starken Verringerung des Rechenaufwands und des Speicherplatzverbrauchs führt. Damit hat sich die Rechenzeit der Kalibrierung deutlich reduziert.rn rnBei der adjungierten Methode wird auch eine adjungierte stochastische Differentialgleichung berechnet. Diese Dissertation befasst sich auch mit dem Zusammenhang dieser adjungierten diskretisierten Gleichung zu der Lösung der rückwärtsstochastischen Differentialgleichungen, die aus der stochastischen Kontrolltheorie herrühren. Dabei stellt sich heraus, dass beide Ansätze im diskretisierten Fall zu demselben Ergebnis führen. Mit der Zusammenführung des adjungierten Ansatzes und der stochastischen Kontrolltheorie schließt diese Arbeit.

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Metadaten
Author:Bastian Peter Groß
URN:urn:nbn:de:hbz:385-11218
Advisor:Ekkehard Sachs
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of completion:2018/02/09
Publishing institution:Universität Trier
Granting institution:Universität Trier, Fachbereich 4
Date of final exam:2015/05/15
Release Date:2018/02/09
Tag:Adjungierte Differentialgleichung; Monte-Carlo-Simulation; Optionspreis; Stochastische optimale Kontrolle; Stochastischer Prozess
Adjoint Method; Calibration; Monte-Carlo Methods; stochastic Predictor-Corrector-Scheme
GND Keyword:Adjungierte Differentialgleichung; Monte-Carlo-Simulation; Optionspreis; Prädiktor-Kor; Stochastische optimale Kontrolle; Stochastischer Prozess
Institutes:Fachbereich 4 / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:47-XX OPERATOR THEORY / 47Nxx Miscellaneous applications of operator theory [See also 46Nxx] / 47N10 Applications in optimization, convex analysis, mathematical programming, economics
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Cxx Probabilistic methods, simulation and stochastic differential equations (For theoretical aspects, see 68U20 and 60H35) / 65C05 Monte Carlo methods
91-XX GAME THEORY, ECONOMICS, SOCIAL AND BEHAVIORAL SCIENCES / 91Gxx Mathematical finance / 91G60 Numerical methods (including Monte Carlo methods)
91-XX GAME THEORY, ECONOMICS, SOCIAL AND BEHAVIORAL SCIENCES / 91Gxx Mathematical finance / 91G80 Financial applications of other theories (stochastic control, calculus of variations, PDE, SPDE, dynamical systems)
93-XX SYSTEMS THEORY; CONTROL (For optimal control, see 49-XX) / 93Exx Stochastic systems and control / 93E24 Least squares and related methods

$Rev: 13581 $